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La détermination de primitives - spé maths complémentaires

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Objectif

Déterminer une primitive d'une fonction continue sur un intervalle.

Points clés

Une fonction continue sur I admet une primitive unique sur I, à une constante près.

Une primitive s'obtient par l'utilisation inversée des formules de dérivation.

Fonction	Primitive (avec k réel)
x ↦ a, a réel	x ↦ ax + k
x ↦ x
x ↦ x²
x ↦ x³
, avec x ≠ 0	x ↦ ln x + k
x ↦ e^x	x ↦ e^x+ k
, avec x ≠ 0
, avec x > 0
x ↦ 2u’(x)u(x)	x ↦ (u(x))²+ k
	x ↦ ln u(x) + k
x ↦ u’(x)e^u(x)	x ↦ e^u(x)+ k

Pour bien comprendre

Maitriser toutes les formules de dérivation des fonctions usuelles.
Maitriser toutes les formules de dérivation des fonctions composées particulières.

Rappel
Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F’ = f.

Le but de cette fiche est d'apprendre à déterminer, quand cela est possible, F lorsque f est donnée.

Pour les fonctions usuelles, on va utiliser un tableau de dérivées en effectuant une lecture inverse ; pour des fonctions plus compliquées mais issues de formules de dérivation, on va donner quelques formules.

En revanche, on ne pourra déterminer les primitives de certaines fonctions, dont on sait qu'elles en admettent puisqu'elles sont continues, celles-ci faisant appel à des formules qui ne sont pas au programme de la classe de terminale ou même n'ayant pas de primitives explicites (c'est par exemple le cas de la fonction x² e – x²).

Il apparait donc comme une évidence que, pour déterminer correctement une primitive d'une fonction donnée, il est nécessaire de maitriser parfaitement les formules de dérivation…

1. Primitives de fonctions usuelles

On va utiliser des tableaux de dérivées comme celui ci-dessous.

Fonctions	Fonctions dérivées
f₁	f₁’
f₂	f₂’
…	…
F	f

Si on lit le tableau de la gauche vers la droite, on part des fonctions usuelles f₁, f₂, …, on applique les formules de dérivation, on corrige éventuellement en multipliant par une constante, puis par somme (ou soustraction) on obtient F telle que F’ = f.

F est donc une primitive de f par lecture inverse de ce tableau (de la droite vers la gauche), les autres étant égales à F + k, où k est une constante réelle.

Exemples

Déterminer une primitive sur

d'une fonction polynôme :

.

On utilise un tableau de dérivation :

Fonctions	Fonctions dérivées
x⁵	5x⁴
	x⁴
x⁴	4x³
	2x³
x²	2x
	x
3x	3

Déterminer une primitive sur

de la fonction

Fonctions	Fonctions dérivées

2. Primitives de fonctions non usuelles, accessibles à l'aide d'une formule issue de la dérivation

Dans toute cette partie, u est une fonction dérivable sur un intervalle I (que l'on précisera).

a. 1er cas : fonction de la forme 2uu'

Propriété
Une fonction de la forme 2uu’ a pour primitive la fonction u² à l'ajout près d'un réel k constant.

Exemple
Déterminer sur

une primitive de

Fonctions	Fonctions dérivées
(x³+ 1)²	2 × 3x²(x³+ 1)
	f (x) = 5x²(x³+ 1)

b. 2e cas : fonction de la forme ln(u)

Propriété

Fonction	Fonction dérivée	I
ln(u)

Exemple
Déterminer pour tout réel x une primitive de :

Remarque
La fonction u : x ↦ e²^x + 1 est strictement positive pour tout réel x puisque exp > 0 donc f est définie et continue sur

Fonctions	Fonctions dérivées
ln(e²^x + 1)
F(x) = 2 ln(e²^x + 1)

c. 3e cas : fonction de la forme exp(u)

Propriété

Fonction	Fonction dérivée	I
e^u	u’ × e^u

Exemple
Déterminer pour tout réel x une primitive de f : x ↦ 7xe ^{(x² + 1)}.

Fonctions	Fonctions dérivées
e^{(x² + 1)}	2x e^{(x² + 1)}
	f (x) = 7xe⁽^{x² + 1)}

3. Primitives de fonctions non usuelles, obtenues dans le cadre de l'étude d'une fonction annexe

Observons comment il est possible de déterminer une primitive dans le cadre de l’étude d’une fonction annexe à travers un exemple.

Exemple
Soit g et h deux fonctions définies sur

par :
g(x) = x ln x – x et h(x) = ln x +

Déterminer g’(x).
En déduire la primitive H de la fonction h telle que H(1) = 2.

Remarque
Dans ce type d'exercice, on ne peut pas calculer H directement puisque connaitre la primitive de la fonction logarithme népérien n'est pas une exigence du programme de Terminale.

Laissons-nous guider par l'énoncé.

Posons u(x) = x et v(x) = ln x, on a donc u’(x) = 1 et v’(x) = ,alors le début de g(x) se réécrit x ln x = u(x)v(x) .
Sa dérivée est u’(x)v(x) + u(x)v’(x), soit ,soit encore ln x + 1. La dérivée de x ↦ –x étant –1, on trouve g’(x) = ln x + 1 – 1 = ln x.
Grâce à la question 1, nous connaissons une primitive de la fonction logarithme népérien : puisqu'en dérivant la fonction g on a trouvé le logarithme népérien, alors g est une primitive de celui-ci.
Ainsi :
x ↦ ln x a pour primitive g.
x ↦ a pour primitive x ↦ ln x.
h a donc pour primitive g(x) + ln x + k, avec k réel constant.
On a donc H(x) = x ln x – x + ln x + k.
Ainsi H(1) = 1 ln 1 – 1 + ln 1 + k = k – 1.
On veut avoir H(1) = 2, donc k – 1 = 2, d'où k = 3.
La primitive H de h telle que H(1) = 2 est donc définie par :
H(x) : x ↦ x ln x − x + ln x + 3.

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