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La dérivée de fonctions composées simples

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Objectifs

Comprendre la composition de deux fonctions.
Trouver une image par une fonction composée.
Dériver certaines fonctions composées.

Points clés

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant ses valeurs dans un intervalle J.
Soit g une fonction définie sur J et prenant ses valeurs dans un intervalle K. On peut alors construire la fonction qui à tout nombre réel x de I associe g[f(x)]. Cette fonction est appelée la fonction composée de f par g.
Pour calculer une image par une fonction composée, on commence par calculer l’image par la première fonction, puis on injecte ce résultat dans la seconde fonction.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J et I un intervalle tel que, pour tout x appartenant à I, on ait ax + b appartient à J, avec a et b des réels fixés.
Alors la fonction x ↦ f(ax + b) est dérivable sur I et sa dérivée est, pour tout x appartenant à I : x ↦ af’(ax + b)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I pour tout x appartenant à I. Alors la fonction e^u est dérivable sur I et on a, pour tout x appartenant à I : (e^u)’(x) = u’(x)e^u^(x).
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que u(x) > 0 pour tout x appartenant à I. Alors la fonction ln u est dérivable sur I et on a, pour tout x appartenant à I : .
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction x ↦ (u(x))² est dérivable sur I et sa dérivée est, pour tout x appartenant à I : x ↦ 2u’(x)u(x).

Pour bien comprendre

Connaitre la notion d’image par une fonction.
Connaitre la notion de nombre dérivé d'une fonction.
Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.

1. Définition d'une fonction composée

a. Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant ses valeurs dans un intervalle J.
Soit g une fonction définie sur J et prenant ses valeurs dans un intervalle K.
On peut alors construire la fonction qui à tout nombre réel x de I associe g[f(x)]. Cette fonction est appelée la fonction composée de f par g et elle se note

Exemple
Soit f et g deux fonctions définies sur

telles que f(x) = x + 3 et g(x) = 2x – 5.
On a :

b. Calculer une image par la composée de deux fonctions

Pour calculer une image par une fonction composée, on commence par calculer l’image par la première fonction, puis on injecte ce résultat dans la seconde fonction.

Exemple
Soit deux fonctions f et g définies sur

telles que f(x) = x + 3 et g(x) = x². Ainsi

.
Calculons

.
On a

car

2. Dérivée d'une fonction composée de deux fonctions dérivables particulières

a. Dérivée de f(ax+b)

Cette fonction est la fonction composée de la fonction affine x ↦ ax + b par la fonction f.

Propriété
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J et I un intervalle tel que, pour tout x appartenant à I, on ait ax + b appartient à J, avec a et b des réels fixés.
Alors la fonction x ↦ f(ax + b) est dérivable sur I et sa dérivée est, pour tout x appartenant à I :

x ↦ af’(ax + b)

Exemple
Pour x appartenant à ]1 ; +∞[, calculer la dérivée de

.
Ici on a

et ax + b = 7x – 3, donc a = 7 et

.
Ainsi la dérivée de

est

ou encore

b. Dérivée de exp(u(x))

Cette fonction est la fonction composée de la fonction u par la fonction exponentielle.

Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I pour tout x appartenant à I.
Alors la fonction e^u est dérivable sur I et on a, pour tout x appartenant à I :

(e^u)’(x) = u’(x)e^u^(x)

Démonstration

Utilisons le taux de variation de la fonction e^u :
.

Le second facteur du produit ci-dessus vaut u’(x) par définition du nombre dérivé de la fonction u.

Quant au premier facteur, posons k = u(x + h) – u(x).
On a k = u(x + h) − u(x) = u(x) – u(x) = 0, donc, comme k tend vers 0 lorsque h tend vers 0, cela revient au même de considérer la limite quand h tend vers 0 et la limite quand k tend vers 0.
Comme k = u(x + h) – u(x), alors u(x + h) = k + u(x), donc et cette dernière limite vaut le nombre dérivé en u(x) de la fonction exponentielle, soit e^u^(x).

Ainsi on peut écrire .

Exemple
Soit u définie sur ]0 ; +∞[ par

. Posons

.
Calculons v’(x) :

, donc

c. Dérivée de ln u(x)

Cette fonction est la fonction composée de la fonction u par la fonction ln.

Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que u(x) > 0 pour tout x appartenant à I.
Alors la fonction ln u est dérivable sur I et on a, pour tout x appartenant à I :

Démonstration

Utilisons le taux de variation de la fonction ln u :
.

Le second facteur du produit ci-dessus vaut u’(x) par définition du nombre dérivé de la fonction u.

Quant au premier facteur, posons k = u(x + h) – u(x).
On a k = u(x + h) – u(x) = u(x) – u(x) = 0 donc, comme k tend vers 0 lorsque h tend vers 0, cela revient au même de considérer la limite quand h tend vers 0 et la limite quand k tend vers 0.
Comme k = u(x + h) – u(x), alors u(x + h) = k + u(x), donc et cette dernière limite vaut le nombre dérivé en u(x) de la fonction ln, soit .

Ainsi on peut écrire :
.

Exemple
Soit u définie sur

par u(x) = x² + 2. Posons v(x) = ln (x² + 2).
Calculons v’(x) : u’(x) = 2x donc

d. Dérivée de (u(x))²

Cette fonction est la fonction composée de la fonction u par la fonction carré.

Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction x ↦ (u(x))² est dérivable sur I et sa dérivée est, pour tout x appartenant à I : x ↦ 2u’(x)u(x).

Exemple
Pour x appartenant à

, soit u la fonction telle que u(x) = 6x² + 3. Calculons la dérivée de x ↦ (6x² + 3)².
Ici on a u(x) = 6x² + 3, donc u’(x) = 6 × 2x = 12x et 2u’(x) = 2 × 12x = 24x.
Ainsi la dérivée de x ↦ (6x² + 3)² est x ↦ 24x(6x² + 3).

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