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La convexité d'une fonction - spé maths complémentaires

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Objectifs

Connaitre les différentes définitions d’une fonction convexe.
Déterminer si une fonction est convexe.
Trouver un point d’inflexion.

Points clés

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Une fonction f est convexe si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est au-dessus de la courbe de f.
Si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est en dessous de la courbe de f , alors on dit que f est concave.
La fonction f est convexe si et seulement si ses tangentes sont en dessous de sa courbe représentative.
La fonction f est concave si et seulement si ses tangentes sont au-dessus de sa courbe représentative.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f’ est croissante sur I.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I. f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est positive sur I.

Pour bien comprendre

Connaitre la notion de dérivée seconde.
Dériver une fonction.
Connaitre l'équation de la tangente à une courbe.
Ne pas confondre sécante et tangente.

1. Définitions d'une fonction convexe

Dans tout ce paragraphe on considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.

a. Première définition d'une fonction convexe

Une fonction f est convexe si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est au-dessus de la courbe de f.

Si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est en dessous de la courbe de f, alors on dit que f est concave.

b. Deuxième définition d'une fonction convexe

On peut aussi donner les propriétés suivantes qui sont équivalentes aux définitions précédentes.

Propriété
La fonction f est convexe si et seulement si ses tangentes sont en dessous de sa courbe représentative.

Propriété
f est concave si et seulement si ses tangentes sont au-dessus de sa courbe représentative.

c. Troisième définition d'une fonction convexe

On peut aussi définir une fonction convexe à partir de la définition d’une fonction concave.

Propriété
f est une fonction convexe sur I si (–f) est concave sur I.

2. Propriétés des fonctions convexes

Propriété 1 (admise)
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f’ est croissante sur I.

Exemple
Considérons la fonction f(x) = x² définie et dérivable sur

.
On a f’(x) = 2x.
f’ est donc une fonction affine, de coefficient directeur strictement positif, donc f’ croissante sur

. Donc la fonction carré est une fonction convexe sur

Remarque
Il existe une propriété identique pour les fonctions concaves.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f’ est décroissante sur I.

Propriété 2 (admise)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est positive sur I.

Exemple
On considère la fonction

.
On a f’(x) = 3x² et f’’(x) = 6x. Pour

donc f est convexe sur

Remarque
On a la propriété correspondante sur les fonctions concaves. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est négative sur I.

Exemple
Reprenons la fonction cube de l’exemple précédent.
On a f’(x) = 3x² et f’’(x) = 6x. Pour x ∈ ]–∞ ; 0], on a f’’(x) ≤ 0, donc la fonction cube est concave sur ]–∞ ; 0].

Propriété 3
La fonction ln est concave sur ]0 ; +∞[.
La fonction exponentielle est convexe sur

.
La fonction inverse est concave sur ]–∞ ; 0[ et convexe sur ]0 ; +∞[.

Démonstration

Il s’agit d’une conséquence directe du signe de la dérivée seconde de chacune de ces fonctions sur ces intervalles.

3. Point d'inflexion

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative.
On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.

Propriété
Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I.
C admet un point d’inflexion d'abscisse a, avec a appartenant à I, s’il existe un réel a dans l'intervalle I tel que :

f’’(a) = 0 et f’’ change de signe en a.

Remarque
Lorsque C admet un point d’inflexion d'abscisse a, on dit que f change de convexité en a ( f passe de convexe à concave, ou bien de concave à convexe).

4. Exemple d'utilisation de la convexité

Démontrer que, pour tout réel x, e^x > 1 + x.

Écrivons l'équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle en un point d'abscisse a réel.
Comme la dérivée de x ↦ e^x est x ↦ e^x, on trouve y = e^a(x − a) + e^a.
Comme la fonction exponentielle est convexe, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, ce qui signifie que l'ordonné e^x d'un point de la courbe d'abscisse x est supérieure à l'ordonnée e^a(x − a) + e^a d'un point de la tangente en a d'abscisse x, d'où e^x > e^a(x − a) + e^a.
En particulier, lorsque a = 0, on trouve e^x > e⁰(x − 0) + e⁰, c'est-à-dire e^x > x + 1.

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