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L'orthogonalité de deux droites, d'un plan et d'une droite

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Objectif

Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité.

Points clés

Soit (d) une droite de vecteur directeur et (d’) une droite de vecteur directeur . Les droites (d) et (d’) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs et sont orthogonaux. Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et coplanaires.
Deux droites (d) et (d’) de vecteurs directeurs respectifs et sont orthogonales si et seulement si .
Deux droites (d) et (d’) sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
Soit une droite (d) de vecteur directeur et un plan P. La droite (d) est orthogonale au plan P si le vecteur est orthogonal à tous les vecteurs du plan P.
Soit une droite (d) de vecteur directeur et un plan P. Si est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P, alors (d) est orthogonale au plan P.
Une droite (d) est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.
Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.

Pour bien comprendre

Calculer un produit scalaire.
Connaitre la notion de vecteurs directeurs d’une droite, d’un plan.

En géométrie plane, « orthogonal » signifie « perpendiculaire ».
En géométrie dans l'espace, le terme « perpendiculaire » est réservé aux droites orthogonales et sécantes.

1. Droites orthogonales

Soit (d) une droite de vecteur directeur

et (d’) une droite de vecteur directeur

.
Les droites (d) et (d’) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs

sont orthogonaux.
Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et coplanaires.

Exemple
On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH ci-dessous.

Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car les vecteurs

sont orthogonaux.
Les droites (DH) et (DC) sont perpendiculaires car elles sont coplanaires dans le plan (DHC) et orthogonales.

Propriétés

Deux droites (d) et (d’) de vecteurs directeurs respectifs et sont orthogonales si et seulement si .
Deux droites (d) et (d’) sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.

2. Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Soit une droite (d) de vecteur directeur

et un plan P.
La droite (d) est orthogonale au plan P si le vecteur

est orthogonal à tous les vecteurs du plan P.

Propriété
Soit une droite (d) de vecteur directeur

et un plan P.
Si

est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P, alors (d) est orthogonale au plan P.

Exemple

Dans le cube ABCDEFGH, on a :
• (BD) perpendiculaire à (AC) car ce sont les diagonales d'un carré donc

sont orthogonaux.
•

;

sont orthogonaux (car BDHF est un rectangle), donc

sont orthogonaux.
• Les vecteurs

sont deux vecteurs non colinéaires du plan (AEC). Donc la droite (BD) est orthogonale au plan (AEC).

Propriété
Une droite (d) est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.

Propriétés (admises)

Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.
Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.

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