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L'équation réduite d'une droite- Seconde- Mathématiques

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Objectifs

Reconnaitre l’équation réduite d’une droite.
Déterminer la pente d’une droite donnée par une équation ou par une représentation graphique.
Déterminer l'équation réduite d'une droite à partir de deux points.
Déterminer l'équation réduite d'une droite à partir d'un point et de la pente.

Points clés

L’équation réduite d’une droite est de la forme :
- y = mx+ p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
- x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
- y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.
Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées admet une unique équation réduite de la forme y = mx + p.
m est la pente de la droite ; on dit aussi que m est le coefficient directeur de la droite.
p est l’ordonnée à l’origine de la droite. Cela signifie que la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).
Le coefficient directeur d’une droite qui passe par deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est : .
Pour passer de l’équation réduite à une équation cartésienne, il suffit de mettre tous les termes du même côté.
Pour passer d’une équation cartésienne à l’équation réduite, il suffit d’exprimer y en fonction de x.

Pour bien comprendre

Fonction affine
Lire les coordonnées d’un point sur un graphique
Résoudre une équation du premier degré

Toutes les droites du plan sont caractérisées par leur équation, qui peut s’écrire de deux façons différentes : on parle d’équation réduite ou d’équation cartésienne d’une droite. Dans cette fiche, on étudie plus particulièrement les équations réduites de droites.
On considère le plan muni d’un repère orthonormé .

1. Équation réduite d'une droite, pente et ordonnée à l'origine

a. Équation réduite d'une droite

L’équation réduite d’une droite est de la forme :

y = mx+ p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.

Exemples
y = 3x + 2 est l’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
x = 3 est l’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
y = –3 est l’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.

Remarque
Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées admet une unique équation réduite de la forme y = mx + p, et est la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = mx + p.

b. Pente et ordonnée à l'origine

m est la pente de la droite ; on dit aussi que m est le coefficient directeur de la droite.
p est l’ordonnée à l’origine de la droite. Cela signifie que la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).

Exemple
y = 3x + 2 est la droite de coefficient directeur 3.
L’ordonnée à l’origine est 2. La droite passe donc par le point de coordonnées (0 ; 2).

2. Détermination de l'équation réduite d'une droite

a. Par lecture graphique

On sait que l’équation réduite d’une droite (d) est de la forme y = mx + p. Pour déterminer cette équation réduite, il faut donc trouver par lecture graphique la valeur des coefficients m et p.

Méthode

On considère la droite (d) représentée ci-dessus. Pour déterminer graphiquement son équation réduite de la forme y = mx + p :

choisir sur le graphique deux points A et B appartenant à la droite (d) et dont les coordonnées sont faciles à lire (on choisit si possible des points dont les abscisses ou les ordonnées « tombent rond »). Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) ces coordonnées ;
déterminer le coefficient directeur m, en appliquant la relation suivante : ;
déterminer l’ordonnée à l’origine p. Pour cela, il suffit de lire sur le graphique l’ordonnée du point d’intersection de (d) avec l’axe des ordonnées.

Exemple 1
Déterminer l’équation réduite de la droite (d₁) suivante.

On sait que l’équation réduite d’une droite est de la forme y = mx + p.

Sur le graphique, on choisit deux points appartenant à (d₁) et dont les coordonnées sont faciles à lire : par exemple, les points A(2 ; –3) et B(–1 ; 3).
On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : .
On lit sur le graphique la valeur de l’ordonnée à l’origine p (c’est l’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées). On trouve p = 1.
L’équation de la droite (d₁) est donc : y = –2x + 1.

Exemple 2
Déterminer l’équation réduite de la droite (d₂) suivante.

On sait que l’équation réduite d’une droite est de la forme y = mx + p.

Sur le graphique, on choisit deux points appartenant à (d₂) et dont les coordonnées sont faciles à lire : par exemple, les points A(3 ; 1) et B(–1 ; –3).
On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : .
On lit sur le graphique la valeur de l’ordonnée à l’origine p (c’est l’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées). On trouve p = –2.
L’équation de la droite (d₂) est donc : y = x – 2.

Remarque
Il n’est pas toujours simple de lire l’ordonnée à l’origine sur un graphique, aussi on préfère souvent à la méthode graphique la méthode calculatoire suivante.

b. À partir des coordonnées de deux points

Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) deux points d’une droite (d) dont on cherche l’équation réduite.
L’équation cherchée est de la forme y = mx + p. Il faut donc calculer la valeur des coefficients m et p à partir des coordonnées des points A et B.

Méthode

Pour déterminer l’équation réduite de la forme y = mx + p d’une droite (d) à partir des coordonnées de deux points A et B appartenant à (d) :

calculer la valeur du coefficient directeur m à partir de la relation ;
calculer la valeur de l’ordonnée à l’origine p en utilisant les coordonnées du point A ou B. Par exemple, avec le point A : ce point appartient à la droite, ses coordonnées vérifient donc l’équation y = mx + p. D’où l’obtention de p par la résolution d’une équation.

Exemple 1
Déterminer l’équation réduite de la droite (d₃) passant par les points
A(2 ; –3) et B(–1 ; 3).
Cette équation réduite est de la forme y = mx + p.

On calcule la valeur de m : .
On calcule la valeur de l’ordonnée à l’origine p, à partir des coordonnées du point A(2 ;-3).
Comme A appartient à (d₃), il vérifie l’équation y = –2x + p.
Donc .
L’équation réduite de la droite (d₃) est donc y = –2x + 1.

Exemple 2
Déterminer l’équation réduite de la droite (d₄) passant par les points A(3 ; 1) et B(–1; –3).
Cette équation réduite est de la forme y = mx + p.

On calcule la valeur de m : .
On calcule la valeur de l’ordonnée à l’origine p, à partir des coordonnées du point A(3 ; 1).
Comme A appartient à (d₄), il vérifie l’équation y = 1x + p.
Donc .
L’équation réduite de la droite (d₄) est donc y = x – 2.

3. Transformation d'une équation réduite en une équation cartésienne et inversement

Une même équation de droite peut s’écrire sous la forme réduite ou sous la forme cartésienne. Il s’agit de deux façons différentes d’écrire une même information. On peut facilement passer d’une écriture à une autre.

a. Passer de l'équation réduite d'une droite à son équation cartésienne

Rappel
L’équation cartésienne d’une droite est de la forme ax + by + c = 0 avec a, b et c ∈ℝ et au moins l’un des nombres a et b non nul.

Méthode

Pour passer de l’équation réduite d’une droite à son équation cartésienne, il suffit de mettre tous les termes du même côté.

Exemple
Donner une équation cartésienne de la droite y = 5x + 4.
Une équation cartésienne de cette droite est –5x + y – 4 = 0.

b. Passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite d'une droite

Méthode

Pour passer d’une équation cartésienne à l’équation réduite d’une droite, il suffit d’exprimer y en fonction de x.

Exemple
Donner l’équation réduite de la droite –3x + 5y – 13 = 0.
On a : 5y = 3x +13,
d’où y =

x +

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