L'équation différentielle y'=ay+b
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Résoudre des équations différentielles du type y' = ay + b avec a et b réels.
- Les solutions de l’équation
différentielle y' = ay,
, sont les fonctions de la forme
, où C est une constante
réelle quelconque.
- La fonction
est la solution particulière
constante de l’équation différentielle
y' = ay + b
avec a
et b sont
deux réels avec 
.
- Les solutions de l’équation
différentielle y' = ay +
b, où
a et
b sont deux
réels et
, sont donc de la forme
avec 
.
- Déterminer la primitive d’une fonction.
- Connaitre la fonction exponentielle.
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.
Nous allons apprendre à résoudre les équations différentielles du type y' = ay + b.
Les solutions de l’équation différentielle y' = ay,
, sont les fonctions de la forme
, où C est une constante
réelle quelconque.
Soit la fonction f définie sur
par 
, où C est un réel. Alors
, donc f est bien solution de
l’équation différentielle
y' = ay.
Réciproquement, soit f une fonction
définie et dérivable sur , solution de
l’équation différentielle
y' = ay. On
définit la fonction g sur par 
.
La fonction g
étant le produit de deux fonctions
dérivables sur , elle est elle-même
dérivable sur et on a :
Or, f
étant solution de l’équation
différentielle y' = ay, f'(x) = a f(x).
Ainsi 
.
La fonction g étant de
dérivée nulle, c’est une fonction
constante.
Ainsi 
, avec 
, d’où .
Les solutions de l’équation différentielle y' = 2y ont pour forme générale
, .On représente ci-dessous quelques exemples de solutions pour différentes valeurs de C.
.
Si f et g sont deux solutions de l’équation différentielle y' = ay,
, alors f + g et kf, 
, sont également solutions
de l’équation différentielle.
Soit f et g deux solutions de l’équation différentielle y' = ay. On a alors f' = af et g' = ag.
Ainsi (f + g)' = f' + g' = af + ag = a(f + g) et (kf)' = kf' = kaf = a(kf).
L’équation y' = ay + b
avec a
et b
réels et 
, est
appelée équation linéaire du premier
ordre à coefficients constants.
La fonction
est la solution
particulière constante de
l’équation différentielle
y' = ay + b
où a
et b
sont deux réels et 
. Cette
solution est appelée solution
particulière constante.
Soit la fonction g définie sur
par 
avec a et b deux réels
et 
, alors
g'(x) = 0.
Ainsi, 
.
On a bien ag(x) + b = g'(x).
La fonction g est solution de
l’équation différentielle
y' = ay + b.
Les solutions de l’équation différentielle y' = ay + b, où a et b sont deux réels et
, sont
les fonctions de la forme 
où u(x) est la solution
particulière constante de
l’équation y' = ay + b
et v(x) est une solution
quelconque de l’équation y' = ay. Les solutions de l’équation différentielle y' = ay + b sont donc de la forme
avec .
Les solutions de l’équation différentielle y' = 3y + 4 ont pour forme générale
, . L’unique solution
vérifiant la condition f(0) = 1 est telle que
, soit 
, donc 
.
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