Fiche de cours

L'asymptote parallèle à l'un des axes de coordonnées

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Quiz et exercices
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Objectif

Interpréter graphiquement certaines limites.

Points clés

Soit une fonction f et (C) sa courbe représentative.

Si ƒ = L ou ƒ = L, alors la droite d'équation y = L est asymptote horizontale à la courbe (C).
Si la fonction ƒ admet une limite égale à +∞ ou –∞ en a (éventuellement quand x → a avec x > a ou quand x → a avec x < a), alors x = a est asymptote verticale à la courbe (C).

1. Asymptote horizontale

Soit une fonction ƒ et (C) sa courbe représentative.
Si

ƒ = L ou

ƒ = L, alors la droite d'équation y = L est asymptote horizontale à la courbe (C).

Remarque
Si pour x assez grand (ou négatif et assez grand en valeur absolue) ƒ(x) > L, alors la courbe (C) est au dessus de son asymptote y = L ; et si dans les même conditions, ƒ(x) < L, alors la courbe (C) est en dessous de son asymptote y = L.

Exemple
La droite y = 0 (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe de la fonction ƒ définie pour x ≠ 0 par ƒ(x) =

et quel que soit x ≠ 0, ƒ(x) > 0 ; donc la courbe est au-dessus de son asymptote horizontale.

2. Asymptote verticale

Soit ƒ une fonction et (C) sa courbe représentative. Soit a un nombre réel.
Si la fonction ƒ admet une limite égale à +∞ ou –∞ en a (éventuellement quand x → a avec x > a ou quand x → a avec x < a), alors x = a est asymptote verticale à la courbe (C).

Exemple
Illustration graphique de la situation avec la fonction définie par

pour x ≠ 5.
La droite d'équation x = 5 est une asymptote verticale à la courbe.

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