Isoler une variable
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Manipuler une égalité pour isoler une variable.
- Lorsqu'une variable est liée par une opération dans une égalité, on applique l'opération contraire des deux côtés de l'égalité pour isoler cette variable.
- Si la variable est présente des deux côtés de l'égalité, on la ramène d'abord d'un seul côté.
- Pour isoler une variable dans une expression, l’ordre des opérations à effectuer est l'ordre inverse des opérations à effectuer si on devait obtenir l'expression à partir de cette variable.
- Les opérations algébriques
- La fonction racine carrée
- La fonction logarithme décimal et l'exponentielle de base 10
Pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques, on est parfois amené à manipuler une égalité pour isoler une variable d’un côté de cette égalité.
Une variable se note avec une lettre.
La variable x peut prendre toutes les valeurs possibles : par exemple 1000, 10 ou encore –1000.
- Dans l'égalité 2x2 + y = 9 – x, ni la variable x ni la variable y ne sont isolées.
- Dans l'égalité y = 9 – x – 2x2, la variable y est isolée, mais pas la variable x.
- Dans l'égalité –2x2 – y – 9 = x, la variable x n'est pas isolée à droite à cause du terme en x2 qui est présent du côté gauche.
Isoler une variable n'est pas toujours possible, mais des méthodes simples permettent d'isoler une variable dans de nombreuses situations.
Il est possible d’isoler une variable d’un seul côté de l’égalité, en cassant un lien additif, un lien multiplicatif, un lien de carré, ou encore un lien logarithmique ou exponentiel.
- Pour isoler x dans
l'égalité 2x + y = 3,
on commence par soustraire
de chaque
côté :
- Pour isoler x dans
l'égalité 2x – 4z = 3,
on commence par ajouter
de chaque
côté :
Dans ces deux exemples, x n'est pas totalement isolée à cause du coefficient 2.
Pour isoler x dans l'égalité x × y = 3,
on divise par
de chaque côté :
|
|
|
|
x est isolée.
Pour isoler x dans l'égalité
= 3,on commence par multiplier par
de chaque côté :
|
|
|
|
x n’est pas totalement isolée à cause de la quantité « +2 » à gauche.
- La fonction qui à tout
nombre x positif ou nul
associe
est appelée fonction
racine carrée.
- On a
= x et 
= x ou –x.
Pour isoler x dans l'égalité x2 = y + 7,
on prend la racine carrée de chaque côté :
- si y + 7 < 0, on ne peut pas isoler x ;
- si y + 7 ≥ 0,
alors x =
ou x = −
.
- La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal.
- On a log(10x) = x.
- On a 10log x = x.
- On a log(nx) = x log n.
Pour isoler x dans l'égalité log(x + 6) = 3y,
on commence par prendre l'exponentielle de base 10 de chaque côté :
|
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|
|
x n'est pas isolée à cause de la quantité « +6 » à gauche.
- la relation log(10x) = x ;
- ou la relation log(nx) = x log n.
Pour isoler x dans l'égalité 10x−3 = 2y,
on commence par prendre le logarithme décimal de chaque côté :
|
|
|
|
x n'est pas isolée à cause de la quantité « –3 » à gauche.
Pour isoler x dans l'égalité 3x = 2y,
on commence par prendre le logarithme décimal de chaque côté :
|
|
|
|
x n'est pas isolée à cause du coefficient « log 3 » à gauche.
Pour isoler x dans l’égalité 3x2 + 1 = y, on peut hésiter entre commencer par diviser par 3, ou bien prendre la racine carrée, ou bien soustraire 1.
Étape 1 – Déterminer les opérations nécessaires pour obtenir l'expression à partir de la variable x.
Étape 2 – Pour isoler x, effectuer les opérations inverses, dans l'ordre inverse.
On souhaite isoler x dans l’égalité 3x2 + 1 = y.
Étape 1 – Pour obtenir l'expression 3x2 + 1 en partant de x, il faut :
- élever au carré x : x2 ;
- puis multiplier par 3 : 3x2 ;
- et enfin ajouter 1 : 3x2 + 1.
Étape 2 – Pour isoler x dans l’égalité 3x2 + 1 = y, il faut réaliser les opérations inverses, et ce dans l'ordre inverse :
- « soustraire 1 » :
- « diviser par 3 » :
- puis « prendre la racine
carrée » :
Pour isoler x dans l'égalité 9x – y = 8 + 4x + 2y :
- on enlève
des deux côtés pour qu'il
n'y ait plus de terme en x
à droite :
- on ajoute
des deux côtés pour qu'il
n'y ait plus que le terme en x
à gauche :
- on termine alors en divisant par
des deux côtés pour
isoler x
à gauche :
Pour isoler x dans x = 
:
- on multiplie chaque côté de
l’égalité par
:
- on termine alors en prenant la racine carrée
des deux côtés
de l’égalité :
si 4 + y ≥ O, on a x =
ou x = –
.
Pour isoler x dans (x + 3)2 – 7x = 3(5 + x) + x2 :
- on développe de chaque côté de
l’égalité :
Rappels
Pour k, a et b des nombres quelconques :- k(a + b) = ka + kb
- (a + b)2= a2 + 2 × a × b + b2
- (a – b)2= a2 – 2 × a × b + b2
- on ramène tous les termes
en x
à gauche en enlevant des
deux côtés
et 
:
- on termine alors en enlevant des deux
côtés
puis en divisant par 
:
Pour isoler x
dans 
= y :
- on multiplie des deux côtés
par
:
- on développe à droite pour
libérer le terme en x de la parenthèse et
on ramène les termes en x
à gauche :
- on factorise à gauche
par x
afin de n'avoir qu'un terme en x
à gauche :
- on termine en divisant par
des deux côtés :
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