Introduction sur l'aire (1)
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Les notions que vous utiliserez le plus en géométrie se rapportent :
- à l'aire ;
- et au volume des figures géométriques.
Ces notions vous permettront en effet de résoudre de nombreux problèmes en mécanique industrielle.
Dans cette étude:
- vous reverrez les principales formules de calcul de l'aire de diverses figures géométriques.
Note:
Une surface est un espace limité par un périmètre.
L'aire représente la mesure de cette surface.
Bien que l'on ait tendance à employer les deux termes sans distinction, il est préférable de parler de l'aire d'une figure géométrique plutôt que de sa surface.
Dans ce cas, la hauteur (figure ci-après) représente une ligne menée perpendiculairement à la base du triangle jusqu'à un des sommets.
L'équation permettant de calculer l'aire d'un triangle est donc :
.
avec: b = base et h = hauteur.
Aire d'un triangle :
Voyons un exemple d'application de cette équation.
|
Problème
Calculez l'aire du triangle de la figure 3.44. Figure 3.44 Triangle 1.
1. Identification des données La figure 3.44 nous apprend que la hauteur du triangle mesure 6 cm et que sa base, identifiée par les lettres AC, mesure elle aussi 6 cm. 2. Calcul de l'aire Appliquons la formule de calcul de l'aire d'un triangle :
L'aire du triangle de la figure 3.44 mesure 18 cm2. |
Aire des triangles : suite :
Il arrive que l'on connaisse la valeur des trois côtés d'un triangle, mais que l'on ignore sa hauteur.
dans ce cas on peut calculer son aire à l'aide de l'équation suivante :
.
avec : p = moitié du périmètreet a, b et c = côtés.
L'exemple suivant illustre comment utiliser cette équation.
|
Problème
Calculez l'aire du triangle de la figure 3.45. Figure 3.45 Aire d'un triangle.
1. Identification des données La figure 3.45 indique que les côtés du triangle mesurent respectivement 10 cm, 4 cm et 12 cm. Pour pouvoir calculer l'aire du triangle, nous devons connaître la valeur de la moitié de son périmètre. 2. Calcul de la valeur de la moitié du périmètre Vous vous souviendrez que le périmètre d'une figure géométrique est égal à la somme de la longueur de ses côtés. Le périmètre du triangle de la figure 3.45 est donc égal à : Il ne reste qu'à diviser le résultat obtenu par 2 pour connaître la valeur de la moitié du périmètre :
3. Calcul de l'aire Maintenant que nous possédons toutes les données requises, nous pouvons appliquer l'équation suivante :
Pour extraire la racine carrée d'un exposant, il suffit de le diviser par 2. L'aire du triangle est donc égale à 18,735 cm2. |
L'aire d'un carré (figure suivante) est égale à la valeur de son côté élevée au carré, qu'on peut aussi écrire de la façon suivante :
Aire carré = c·c = C2.
dans laquelle : c = côté du carré.
Aire d'un carré :
Par exemple, si le côté d'un
carré mesure 6 cm, son aire sera égale
à 36 cm2
(6 cm 
6 cm).
L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa base et de sa hauteur (figuresuivante).
On peut écrire mathématiquement cette formule de la manière suivante :
.
dans laquelle :
b = base rt h = hauteur.
Aire d'un rectangle :
Voyons un exemple d'application de cette formule.
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Problème
Calculez l'aire du rectangle de la figure 3.49. Figure 3.49 Rectangle 1. 1. Identification des données Sur la figure 3.49, on peut voir que la hauteur du rectangle est de 10 cm, tandis que sa base mesure 15 cm. 2. Calcul de l'aire Il ne reste plus qu'à appliquer la formule de calcul de l'aire d'un rectangle, soit : L'aire du rectangle de la figure 3.49 mesure 150 cm 2. |
Remarquez dans la figure suivante, comment s'établit la hauteur d'un parallélogramme.
Aire d'un parallélogramme :
L'exemple suivant montre comment calculer l'aire d'un parallélogramme.
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Problème
Calculez l'aire du parallélogramme de la figure 3.51. Figure 3.51 Parallélogramme 1.
1. Identification des données La figure 3.51 montre que la hauteur du parallélogramme mesure 4 m et que sa base mesure 6 m. 2. Calcul de l'aire Puisque l'aire d'un parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur, on peut écrire que : L'aire du parallélogramme mesure 24 m2. |
L'aire d'un losange est égale à la moitié du produit de ses diagonales (figure suivante).
On peut donc écrire que :
.
dans laquelle :
D = grande diagonale ;
d = petite diagonale.
Aire d'un losange :
Voyons, à l'aide d'un exemple, comment appliquer cette formule.
|
Problème
Calculez l'aire du losange de la figure 3.53. Figure 3.53 Losange 1. 1. Identification des données Sur la figure 3.53, on peut voir que la grande diagonale (AC) mesure 24 mm, alors que la petite diagonale (BD) mesure 16 mm. 2. Calcul de l'aire Il ne reste plus qu'à appliquer la formule du calcul de l'aire d'un losange : L'aire du losange mesure 192 mm2. |
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