Intervalles de fluctuation

► En classe de seconde

On définit un échantillon de taille n par la répétition de n épreuves indépendantes d’une même expérience aléatoire à deux issues notées 0 et 1 (épreuve dite de Bernoulli).
La fluctuation d’échantillonnage (phénomène naturel fréquent) invite à se poser la question de la confiance envers les résultats trouvés.


Exemple
Un sondage est réalisé pour avoir une tendance du résultat d’une élection entre deux candidats A et B d’une région. Pour un total de 33 000 électeurs, le sondage portant sur 723 personnes interrogées donne 384 voies au candidat A.
Peut-on considérer que ce candidats sera élu au premier tour car il dépasse 50 % des intentions de vote ?

Taille de l’échantillon : n = 723 (très supérieur à 25).

Fréquence du caractère : , arrondie à 0,531 à 10^-3 près, valeur bien supérieure à 50 %.

Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : , valeurs arrondies à 10^-3.

Il n’est donc pas certain qu’il soit élu.

On peut remarquer que les instituts de sondage donnent des pourcentages d’intention de vote, sans indiquer la « fourchette » dans laquelle se trouve cette valeur.

► En classe de première


Contrairement à la règle de fluctuation de la fréquence vue en seconde, cette propriété est vraie pour toutes valeurs de n et p.
On utilise alors une calculatrice pour déterminer a et b (faire un algorithme, puis un programme est une bonne chose).

Exemple
Sous les mêmes hypothèses que l’exemple précédent (33 000 électeurs, un sondage portant sur 723 personnes interrogées donnant 384 voies au candidat A).
Peut-on considérer que ce candidats sera élu au premier tour car il dépasse 50 % des intentions de vote ?

    • Réponse (revoir l’utilisation d’une calculatrice « obligatoire » pour obtenir les résultats suivants) :
Nous avons n = 723, p = 0,531.
Soit X la variable aléatoire associée à la réponse « Oui » du sondage. Les 723 épreuves sont indépendantes, avec deux issues (on ne comptabilise pas les votes autres que ceux pour les candidats) . La variable suit une loi binomiale .

    • Recherche de l’intervalle :

tout d’abord, comme 723 × 0,531 = 384 (valeur arrondie à l’unité près), a et b seront symétriques par rapport à cette valeur. Il n’est pas utile de rechercher b.

L’utilisation d’une calculatrice donne :
et .
Donc a = 358.

Le pourcentage minimal supposé au seuil de 95 % (la borne inférieure de l’intervalle de fluctuation) est donc à 10^-3 près.

L’intervalle n’est pas entièrement situé au dessus de 50 %, donc nous ne pouvons pas être certains du succès de ce candidat.

Remarque
Ce résultat est plus précis que celui obtenu avec la formule apprise en seconde, tout en confirmant son résultat.

En Terminale la formule va encore évoluer et gagner en précision.

Pour une variable aléatoire X_n suivant une loi binomiale B(n ; p) , la variable représente la fréquence de succès. La proportion de succès de l’échantillon de taille n est p.


Remarque
Conditions d’application : 30 ≤ n, 5 ≤ n × p, et 5 ≤ n × (1-p).
Cette formule (approximation) est établie par expérimentation. Il est demandé de connaître la formule et de savoir l’appliquer.

Exemple
Sous les mêmes hypothèses que l’exemple précédent (33 000 électeurs, un sondage portant sur 723 personnes interrogées donnant 384 voies au candidat A).
Peut-on considérer que ce candidats sera élu au premier tour car il dépasse 50 % des intentions de vote ?

   • Vérifier les conditions : la taille de l’échantillon est très supérieure à 30, 723 × 0,531 est très supérieur à 5, de même que 723 × 0,469 l’est aussi.

   • Utiliser une calculatrice pour obtenir :



.


Remarque
Attention, on est parfois obligé d'arrondir les résultats.
Pour les intervalles, il faut arrondir à une valeur inférieure (par défaut) pour la borne inférieure et à une valeur supérieure (par excès) pour la borne supérieure.
L'intervalle est plus grand qu'avec les valeurs exactes mais à trop le réduire on risquerait de rejeter l'hypothèse alors qu'elle est vraie, ce que l'on veut à tout prix éviter.