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Intervalle de fluctuation d'une variable aléatoire suivant une loi normale

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Objectif

Connaître et interpréter graphiquement une valeur approchée de la probabilité de l'évènement

lorsque X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ.

La notion d'intervalle de fluctuation 2 sigmas.

1. Rappels sur la loi normale

Soit n un entier naturel non nul, et p un nombre compris entre 0 et 1.
Lorsque n est supérieur à 30, np supérieur à 5 et n(1-p) supérieur à 5 le diagramme en bâton représentant la loi binomiale de paramètres n et p se rapproche d'une courbe « cloche ». On dit alors que la loi suit une loi normale.

Exemple :
Courbe cloche représentant une loi normale

Lorsque la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ, on a alors les propriétés suivantes :
• Pour tout réel a, P(X ≤ a) est l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et la partie à gauche de la droite d'équation

.
• P( X ≤ μ ) = 0,5
• L'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses vaut toujours 1.

2. Intervalle de fluctuation deux sigmas

Utilisation de la calculatrice pour déterminer P(a ≤ X ≤ b) :
• Modèle Casio :
Accéder au menu statistique en tapant Menu 2.
Puis accéder à l'onglet DIST en tapant la touche F5.
Puis accéder à l'onglet NORM en tapant la touche F1.
Puis choisir la loi Ncd en tapant sur la touche F2.
Compléter alors avec les paramètres a,b,μ et σ.
Valider vos saisies en appuyant sur la touche EXE.

• Modèle Texas Instrument :
Accéder au menu distrib en tapant 2nde Var.
Sélectionner alors normalFRép.
Entrer ensuite les paramètres de la manière suivante: a,b,μ,σ).
Valider vos saisies en appuyant sur entrer.

En utilisant les séquences de touches précédentes à n'importe quelle variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ, on obtient la propriété suivante :

Si X est une variable aléatoire d'espérance μ et d'écart-type σ, alors

, on parle de l'intervalle de fluctuation 2 sigmas.

Exemple :

95 % des valeurs sont comprises entre 3 et 7.

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