Fiche de cours

Homothétie

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Quiz et exercices
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Objectifs

Savoir reconnaitre une homothétie.
Savoir construire l’homothétie d’une figure.
Savoir utiliser les propriétés de l’homothétie pour calculer un angle, une longueur, une aire, etc.

Points clés

L'homothétie est une transformation.
- Elle permet d’agrandir ou de réduire des figures géométriques.
- Elle est définie par un centre et un rapport.
Pour construire une homothétie :
- Tracer la droite passant par le centre et le point de départ.
- Avec un compas, prendre la distance entre le centre et le point de départ.
- À partir du centre, reporter cette distance sur la droite autant de fois que le rapport, en allant vers le point de départ si le rapport est positif, dans le sens opposé s'il est négatif.
- Placer l'image.

1. Définition

L’homothétie est une transformation, comme la symétrie et la rotation.
Elle permet d’agrandir ou de réduire des figures géométriques.
Elle est définie par un centre et un rapport.

Exemple
Une homothétie de rapport k (avec k un nombre relatif non nul) permet d’agrandir ou de réduire la figure ABC à partir du point O, centre de l'homothétie. On obtient la figure A'B'C'.

Cas particuliers

Dans une homothétie dont le rapport est supérieur à 1 ou inférieur à –1 , on obtient un agrandissement de la figure initiale.
Dans une homothétie dont le rapport est compris entre –1 et 1, on obtient une réduction de la figure initiale.
Si le rapport d’une homothétie est exactement égal à –1, cela correspond à une symétrie centrale.

2. Construction

Méthode générale

Tracer la droite passant par le centre et le point de départ.
Avec un compas, prendre la distance entre le centre et le point de départ.
À partir du centre, reporter cette distance sur la droite autant de fois que le rapport, en allant vers le point de départ si le rapport est positif, dans le sens opposé s'il est négatif.
Placer l'image.

Exemple 1
Construire l’image de M par l’homothétie de centre O de rapport 2.

On trace la droite (OM).
Avec un compas, on prend la distance OM.
À partir de O, on reporte deux fois la distance OM en allant vers M (car le rapport est positif).
On place alors M’.

Exemple 2
Construire l’image de N par l’homothétie de centre O de rapport –2.

On trace la droite (ON).
Avec un compas, on prend la distance ON.
À partir de O, on reporte deux fois la distance ON sur la droite, en allant à l'opposé de N (car le rapport est négatif).
On place alors N’.

3. Propriétés

Par une homothétie :

l’image d’une droite est une droite parallèle ;
l’image d’un segment est un segment parallèle ;
l’image d’un angle est un angle de même mesure.

Une homothétie de rapport k > 0 multiplie les longueurs de l'image par k et son aire par k².

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