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Fractions irréductibles

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Objectif

Le PGCD de 2 nombres entiers permet de mettre les fractions sous forme irréductible.
Comment simplifier des fractions grâce aux critères de divisibilité ou au PGCD ?

1. Simplifications de fractions

On dit que l’on simplifie une fraction lorsqu’on l’écrit avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Exemple : simplifier

15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5. On a donc :

Remarque : On peut présenter la simplification d’une fraction en barrant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

2. Fractions irréductibles

Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier.

Exemple :

Remarque : on peut donc rendre une fraction irréductible en connaissant les critères de divisibilité.

Définition équivalente : Une fraction

est irréductible si le PGCD (a ; b) = 1
Autrement dit : Une fraction

est irréductible si a et b sont premiers entre eux.

Exemple :

est une fraction irréductible car PGCD (43 ; 65) = 1

Propriété : Si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction

par le PGCD(a ; b), alors la fraction obtenue est irréductible.

Application : Rendre la fraction

irréductible

1^ère étape : Calcul du PGCD par algorithme d’Euclide
• On effectue la division euclidienne de 10608 par 391.
On obtient : 10608 = 27 × 391 + 51
• Puis : 391 = 7 × 51 + 34
• Puis 51 = 1 × 34 + 17
• Puis 34 = 2 × 17 + 0
Donc PGCD (10608 ; 391) = 17 (car 17 est le dernier reste non nul)

2^ème étape : simplification de fractions :

est une fraction irréductible.

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