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Fonctions : variations et extrema

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Les variations et les extrema permettent de décrire le comportement d'une fonction numérique.

Comment déterminer le sens de variation d'une fonction par calculs et sur un graphique ? Qu'est ce que les extrema d'une fonction ? Comment dresser et lire un tableau de variation ?

1. Sens de variation d'une fonction

a. Définitions

Soient I un intervalle et f une fonction définie sur I.

f est croissante sur I signifie que pour tout a et b de I, si a ≤ b, alors f(a) ≤ f(b).
f est décroissante sur I signifie que pour tout a et b de I, si a ≤ b, alors f(a) ≥ f(b).
f est constante sur I signifie que pour tout a et b de I, on a f(a) = f(b).

Exemples :

1) la fonction

est décroissante sur

.
En effet si a ≤ b, alors –a ≥ –b, d’où –a+2 ≥ –b+2, c’est à dire f(a) ≥ f(b).

2) la fonction

est croissante sur

.
En effet, si a et b sont deux nombres strictement positifs tels que a ≤ b, alors

d’où f(b) ≥ f(a).

3) la fonction

est constante sur

b. Sens de variation et graphiques

f est croissante sur I	f est décroissante sur I	f est constante sur I

c. Tableau de variation

Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition on dresse un tableau de variation.
Une flèche montante indiquant la croissance et une descendante indiquant la décroissance.

Exemple : Voici la représentation graphique d’une fonction f sur [0 ; 4], elle est décroissante sur [0 ; 2] et est croissante sur [2 ; 4], on a donc le tableau de variation suivant :

2. Extrema d'une fonction f sur un intervalle

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Le maximum M de f sur I est la plus grande valeur de f(x) pour x parcourant I.
On a alors pour tout x de I, f(x) ≤ M.

Le minimum de f sur I est la plus petite valeur de f(x) pour x parcourant I.
On a alors pour tout x de I, f(x) ≥ m.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Exemple 1 : Voici la représentation graphique d’une fonction f.

Sur l’intervalle [1 ; 4] :
le minimum de f est 1 atteint pour x = 2
le maximum de f est 5 atteint pour x = 4

Exemple 2 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :

Sur l’intervalle [1 ; 4] :
le minimum de f est -5 atteint pour x = 4
le maximum de f est -1 atteint pour x = 2

Exemple 3 : Voici le tableau de variation d’une fonction f :

Sur l’intervalle [0 ; 5], le maximum de f est 2 atteint pour x = 2 et le minimum est -2 atteint
pour x = 4.

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