Fonctions polynômes de degré 2 : définition et représentation
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre l'expression algébrique d'une fonction polynôme du second degré.
- Connaitre les représentations graphiques des
fonctions polynômes du type
-
(cas
général) ;
-
et 
(cas particuliers).
-
- Connaitre l'axe ou les axes de symétrie d'une fonction polynôme du second degré.
- Connaitre le signe d'une fonction polynôme du second degré sous forme factorisée, grâce à l'image mentale de sa courbe.
- Une fonction polynôme du second degré est
une fonction
définie sur R
par
, avec a un réel non nul,
b et
c deux
réels.
- Sa représentation graphique est une parabole
dont les branches sont tournées vers le haut
lorsque
et vers le bas
lorsque 
.
- Le sommet S de la parabole est le point de la parabole
d'abscisse
.
- La parabole admet un axe de symétrie vertical
d'équation .
- Dans le cas particulier où b = 0 et c = 0, c'est-à-dire
où l'on a :
- la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère ;
- le sommet de la parabole est le point O (0 ; 0).
- Dans le cas particulier où c = 0, c'est-à-dire
où l'on a , la parabole est la même
que celle de la fonction
mais
« décalée » vers le
haut ou vers le bas en fonction de la valeur de
b.
- Lorsque f est sous forme factorisée f(x) = a(x – x1)(x – x2), on visualise mentalement sa parabole coupant l'axe des abscisses aux points d'abscisses x1 et x2, tournée vers le haut ou le bas suivant le signe de a, et on a directement les ensembles solution des inéquations f(x) ≥ 0 et f(x) ≤ 0.
- Fonction impaire
- Images, antécédents
- Fonction carré
- Représentation graphique d'une fonction
Nous allons ici étudier un type de fonctions liées à la fonction carrée.
, avec a un réel non nul,
b et
c deux
réels.
- La fonction f définie
par
est une fonction du
second degré. On identifie les
coefficients : 
.
- La fonction g définie
par
est une fonction du
second degré. On identifie les
coefficients : 
.
Une fonction du second degré peut s'écrire sous plusieurs formes. On appelle forme développée la forme
. La forme est la forme factorisée.
La parabole a pour équation
, avec a un réel non
nul, b et
c deux
réels.
dépend du signe
de a :
- si
alors les
branches de la parabole sont tournées vers
le haut ;
- si
alors les
branches de la parabole sont tournées vers
le bas.
, alors que lorsqu'on est
négatif, on fait la moue 
.
.
On va étudier la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par
.Ici
.Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
| x | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) | 5 | 1 | –1 | –1 | 1 | 5 |
.Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 1,5 et Y = –1,25. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(1,5 ; –1,25).
On va étudier la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par
. Ici 
. Un tableau de valeurs
obtenu avec la calculatrice est :
| x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| g(x) | –3 | 0,5 | 3 | 4,5 | 5 | 4,5 | 3 | 0,5 | –3 |
D'après ce tableau on peut lire
que 
.
Sur le graphique ci-dessous, on lit les
coordonnées du curseur X = 2 et
Y = 5. Ce sont les coordonnées du
sommet de la parabole : S(2 ; 5).
.
On a vu au paragraphe précédent que le sommet de la parabole avait pour abscisse
. L'axe de symétrie de la parabole passe donc par ce sommet.
Reprenons l'exemple 1 du paragraphe précédent.
La parabole représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par
admet un axe de
symétrie
vertical d'équation 
.
Reprenons l'exemple 2 du paragraphe précédent.
La parabole représentative de la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par
admet un axe de symétrie
vertical d'équation 
.
Parmi les fonctions polynômes du second
degré, on considère celles du
type 
.
Pour tout réel x, on a f(–x) =
a 
(–x)2 =
ax2 =
f(x).
La fonction f est donc paire.
est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées du
repère.
On a vu au paragraphe précédent que
le sommet S d'une
parabole d'équation était le point de
la parabole d'abscisse . Ici, comme b = 0, le sommet S de la
parabole a pour abscisse 
. et
pour ordonnée 
.
Soit f(x) = 0,2x2. On peut dresser un tableau de valeurs de f :
| x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | 1,8 | 0,8 | 0,2 | 0 | 0,2 | 0,8 | 1,8 |
puis, placer les points de coordonnées
(x ;
f(x)) dans un repère et
enfin, tracer la courbe passant par ces points :
. La courbe représentative
d’une fonction du type 
est la même que
celle de la fonction mais
« décalée » vers le haut
ou vers le bas en fonction de la valeur de b.
Reprenons la fonction f(x) = 0,2x3 de l’exemple précédent, et considérons les fonctions g et h définies par g(x) = 0,2x2 + 2 et h(x) = 0,2x2 – 3. Visualisons leur représentation graphique dans un même repère :
On remarque que, par rapport à la courbe de f, la courbe de g est « décalée » de 2 vers le haut (b = 2) et que celle de h est « décalée » de 3 vers le bas (b = –3).
On peut déterminer le signe d'un polynôme du second degré rapidement à partir de sa forme factorisée, en ayant en tête l'image mentale de sa courbe représentative.
Soit f une
fonction polynôme de degré 2 telle
qu'il existe 3 réels a, x1
et x2 tels
que f(x) = a(x – x1)(x – x2).
Il y a 2 possibilités pour la parabole
représentant f :
La parabole est tournée vers le haut et coupe l'axe des abscisses en changeant de signe pour x = x1 et pour x = x2.
On sait ainsi que :
f(x) ≤ 0
pour tout réel x dans [x1,
x2]
f(x) ≥ 0
pour tout réel x dans ]–∞ ; x1] ∪ [x2 ; +∞[
Résoudre 3(x + 4)(x – 5) < 0 :
On reconnait la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 avec a = 3.
a > 0 donc la parabole est tournée vers le haut, avec x2 = –4 et x1 = 5.
L'ensemble solution de l'inéquation est donc [–4 ; 5].
La parabole est tournée vers le bas et coupe l'axe des abscisses en changeant de signe pou x = x1 et pour x = x2.
On sait ainsi que :
f(x) ≤ 0
pour tout réel x dans [x1,
x2]
f(x) ≥ 0
pour tout réel x dans ]–∞ ; x1] ∪ [x2 ; +∞[
Résoudre –3(x + 4)(x – 5) < 0 :
On reconnaît la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 avec a = –3.
a < 0 donc la parabole est tournée vers le bas, avec x2 = –4 et x1 = 5.
L'ensemble solution de l'inéquation est donc ]–∞ ; –4[ ∪ ]5 ; +∞[.
Que f soit
sans racine (comme f(x) = x² + 1
par exemple) ou avec une seule racine (appelée
racine « double », comme
f(x) = 5(x – 2)²
par exemple), la parabole va rester du même
côté de l'axe des abscisses, sans le
toucher dans le premier cas, avec un point de contact
unique dans le deuxième cas (en x = 2 si
f(x) = 5(x – 2)²
par exemple).
Conséquence : le signe de f ne change pas
sur 
, et f est donc du signe
de a.
Résoudre 3(x – 2)² ≥ 0 :
Posons f(x) = 3(x – 2)², f a une seule racine : 2, et pour f on a : a = 3 > 0. Ainsi f est positive sur
, l'ensemble des solutions est
donc .
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