Fiche de cours

Fonctions continues et non continues sur un intervalle

Lycée > Terminale > Mathématiques complémentaires > Fonctions continues et non continues sur un intervalle

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Introduire la notion de continuité.
Donner une liste usuelle de fonctions continues.
Montrer quelques contre-exemples.

Points clés

Dire qu’une fonction est continue en x₀ signifie que .
Dire qu'une fonction est continue sur un intervalle I signifie que la fonction est continue en tout réel de I.
Les fonctions construites par opération (somme, différence, produit et quotient) ou par composition sont continues sur les intervalles inclus dans leur ensemble de définition.
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.

Dans la suite de ce cours, les fonctions utilisées sont définies sur un intervalle I et x₀ est un point de I.

1. Continuité et discontinuité d'une fonction en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et x₀ ∈ I.
Dire que f est continue en x₀ signifie que

.
Dire que f est discontinue en x₀ signifie que f n'est pas continue en x₀.

Exemples

• La fonction f représentée ci-dessous est continue en x₀. La fonction g est discontinue en x₀. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x₀ si la courbe passe par le point M₀(x₀ ; ƒ(x₀)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.

• Soit la fonction f définie sur par f(x) = x²+ 3x + 4 si x > 1 ; f(x) = 5 + 3x si x ≤ 1.
et f(1) = 5 + 3 × 1 = 8.
On a bien
On en déduit que f est continue en 1.

• Soit la fonction f définie par f(x) = si x ≠ 0, et f(0) = 1.
.
Donc la fonction f est continue en 0.

• La fonction partie entière, notée E, est la fonction définie sur par E(x) = k avec k entier relatif tel que k ≤ x < k + 1.
Autrement dit, E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
Par exemple, E(π) = 3 ; E(–π) = –4 ; E() = 1 ; E(5) = 5 et E(–8) = –8. Voici la représentation graphique de cette fonction :

La fonction partie entière E est discontinue en tout point entier relatif.

2. Fonctions continues

a. Définition

Dire que la fonction ƒ est continue sur I signifie que ƒ est continue en tout réel de I.

Exemple
La fonction ƒ définie sur

par

est continue sur

b. Continuité des fonctions usuelles

Propriétés admises
• Les fonctions polynômes sont continues sur

.
• La fonction inverse est continue sur l'intervalle

et sur l'intervalle

.
• La fonction racine carrée est continue sur

.
• La fonction valeur absolue est continue sur

.
• La fonction exponentielle est continue sur

.
• La fonction ln est continue sur l'intervalle

.
• Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus sont continues sur

Remarque
Il est important de repérer les fonctions usuelles pour prouver la continuité d'une fonction.

c. Opérations sur les fonctions continues

Propriété
Les fonctions construites par opération (somme, différence, produit et quotient) ou par composition sont continues sur les intervalles inclus dans leur ensemble de définition.

Exemples

• La fonction f définie sur par est le produit des fonctions et qui sont toutes deux continues sur , donc f est continue sur .

• La fonction g définie sur par est continue sur les intervalles et comme quotient de deux fonctions polynômes.

• La fonction h définie sur par est la composée de la fonction racine carrée et d’une fonction affine. La fonction h est continue sur l’intervalle .

d. Dérivabilité et continuité

Propriété (admise)
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.

Remarque importante
La réciproque de cette propriété est fausse. Par exemple, la fonction racine carrée est continue sur l’intervalle

mais elle n’est pas dérivable en 0 : la fonction racine carrée est dérivable sur l’intervalle

Évalue ce cours !

Note 3.8 / 5. Nombre de vote(s) : 64

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT