Fiche de cours

Fonctions continues et non continues sur un intervalle

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Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Introduire la notion de continuité.
Donner une liste usuelle de fonctions continues.
Montrer quelques contre-exemples.

Points clés

Dire qu’une fonction est continue en x₀ signifie que .
Dire qu'une fonction est continue sur un intervalle I signifie que la fonction est continue en tout réel de I.
Les fonctions construites par opération (somme, différence, produit et quotient) ou par composition sont continues sur les intervalles inclus dans leur ensemble de définition.
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.

Dans la suite de ce cours, les fonctions utilisées sont définies sur un intervalle I et x₀ est un point de I.

1. Continuité et discontinuité d'une fonction en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et x₀ ∈ I.
Dire que f est continue en x₀ signifie que

.
Dire que f est discontinue en x₀ signifie que f n'est pas continue en x₀.

Exemples

• La fonction f représentée ci-dessous est continue en x₀. La fonction g est discontinue en x₀. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x₀ si la courbe passe par le point M₀(x₀ ; ƒ(x₀)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.

• Soit la fonction f définie sur par f(x) = x²+ 3x + 4 si x > 1 ; f(x) = 5 + 3x si x ≤ 1.
et f(1) = 5 + 3 × 1 = 8.
On a bien
On en déduit que f est continue en 1.

• Soit la fonction f définie par f(x) = si x ≠ 0, et f(0) = 1.
.
Donc la fonction f est continue en 0.

• La fonction partie entière, notée E, est la fonction définie sur par E(x) = k avec k entier relatif tel que k ≤ x < k + 1.
Autrement dit, E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
Par exemple, E(π) = 3 ; E(–π) = –4 ; E() = 1 ; E(5) = 5 et E(–8) = –8. Voici la représentation graphique de cette fonction :

La fonction partie entière E est discontinue en tout point entier relatif.

2. Fonctions continues

a. Définition

Dire que la fonction ƒ est continue sur I signifie que ƒ est continue en tout réel de I.

Exemple
La fonction ƒ définie sur

par

est continue sur

b. Continuité des fonctions usuelles

Propriétés admises
• Les fonctions polynômes sont continues sur

.
• La fonction inverse est continue sur l'intervalle

et sur l'intervalle

.
• La fonction racine carrée est continue sur

.
• La fonction valeur absolue est continue sur

.
• La fonction exponentielle est continue sur

.
• La fonction ln est continue sur l'intervalle

.
• Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus sont continues sur

Remarque
Il est important de repérer les fonctions usuelles pour prouver la continuité d'une fonction.

c. Opérations sur les fonctions continues

Propriété
Les fonctions construites par opération (somme, différence, produit et quotient) ou par composition sont continues sur les intervalles inclus dans leur ensemble de définition.

Exemples

• La fonction f définie sur par est le produit des fonctions et qui sont toutes deux continues sur , donc f est continue sur .

• La fonction g définie sur par est continue sur les intervalles et comme quotient de deux fonctions polynômes.

• La fonction h définie sur par est la composée de la fonction racine carrée et d’une fonction affine. La fonction h est continue sur l’intervalle .

d. Dérivabilité et continuité

Propriété (admise)
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.

Remarque importante
La réciproque de cette propriété est fausse. Par exemple, la fonction racine carrée est continue sur l’intervalle

mais elle n’est pas dérivable en 0 : la fonction racine carrée est dérivable sur l’intervalle

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