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Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations sur les dérivées

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Objectifs

Définir une fonction dérivée.
Connaitre les fonctions dérivées de (où k est un réel), , et .
Connaitre la dérivée d’une somme, la dérivée de kƒ (où k est un réel), la dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3.

Points clés

La fonction dérivée de sur I, est la fonction notée qui à tout fait correspondre , le nombre dérivé de en x.
Pour déterminer la fonction dérivée de :
1. On calcule .
2. On étudie vers quoi tend lorsque tend vers 0. C’est .
3. On en déduit la fonction dérivée : en remplaçant par dans .
Formules de la dérivée :
- d'une somme :
- du produit d'une fonction par un réel : .
Pour connaitre la dérivée d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3, il suffit d'appliquer les propriétés précédentes sur la dérivée d'une somme et la dérivée du produit d'une fonction par un réel.

Pour bien comprendre

Nombre dérivé

1. Nombre dérivé, fonction dérivée

a. Fonction dérivable en a et nombre dérivé (rappel)

Soit une fonction définie sur un intervalle I. Soient et deux éléments de I.

Dire que « est dérivable en » signifie qu'il existe un réel L vers lequel le taux de variation de

tend lorsque

tend vers

.
Autrement dit, plus

est proche de

, plus

est proche de L.
Lorsqu'il existe, ce réel L est noté et s'appelle le nombre dérivé de en .

Si on pose , alors le taux de variation s'écrit . Comme lorsque est proche de , est proche de 0, alors est donc aussi le nombre dont se rapproche lorsque se rapproche de 0.

b. Fonction dérivée

La fonction dérivée de

sur I, est la fonction notée

qui à tout

fait correspondre

, le nombre dérivé de

en x.

Méthode

Pour déterminer la fonction dérivée de

On calcule .
On étudie vers quoi tend lorsque tend vers 0. C’est .
On en déduit la fonction dérivée : en remplaçant par dans .

Exemple avec la fonction carrée

Plaçons nous en un réel

quelconque et calculons le taux d'accroissement de f .

Pour h ≠ 0,

Pour tout réel

tend vers

, ce qui prouve que la fonction

est dérivable sur R et pour tout

. On emploie plutôt la variable

pour l'expression d'une fonction, c'est pourquoi on écrira plutôt

2. Dérivées des fonctions constantes, identité, carré et cube

De la même façon que dans le paragraphe 1b, on détermine l'expression des dérivées des fonctions usuelles suivantes :
(où k est un réel)

On les consigne dans le tableau ci-dessous.

f(x)	définie pour x appartenant à	f '(x)	définie pour x appartenant à
k constante réelle		0
x		1
x²		2x
x³		3x²

3. Opérations et dérivées

Pour ce qui suit, on pose : soient et deux fonctions de , et un réel fixé.

Remarque : il faudrait écrire

. Les notations simplifiées

sont générales jusqu’au bac.

a. Dérive de la somme de deux fonctions

La dérivée de la somme de deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I est la somme des dérivées de ces deux fonctions.

Formule :

Exemple
Soit

définies sur

par

. Ces deux fonctions sont dérivables sur

et on a :

puisque

b. Dérivée du produit d'une fonction par un réel

La dérivée du produit d'une fonction définie et dérivable sur un intervalle I par un réel fixé k est le produit de k et de la dérivée de la fonction.

Formule :

Exemple
Soit

, définie et dérivable sur

. La fonction

est définie et dérivable sur

et on a :

puisque

c. Application aux fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3

Les propriétés précédentes permettent de calculer la dérivée de toute fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.

Exemple
Donner la dérivée de la fonction

, définie sur

.

Soient les fonctions

définies et dérivables sur

.
g est la somme des fonctions u, v et w. La dérivée de g est donc égale à la somme des dérivées de u, v et w :

.

Or, u et v sont chacune le produit d'une fonction par un réel. On applique la formule :

.
On a donc :

.

w est une constante, donc

.

D'où :

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