Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle

Exemple : soit définie sur . Sa dérivée est définie sur , alors sa dérivée seconde, définie sur , s’écrit : .

On remarquera que dans ce cas puisque la dérivée de la dérivée est positive cela veut dire que la dérivée est croissante, donc le coefficient directeur des tangentes augmente de plus en plus, la croissance de la fonction est donc de plus en plus forte.

On remarquera que dans ce cas puisque la dérivée de la dérivée est négative cela veut dire que la dérivée est décroissante, donc le coefficient directeur des tangentes devient de plus en plus faible, la croissance de la fonction est donc de moins en moins forte.

Exemple : Soit définie sur . Sa dérivée première est et sa dérivée seconde : avec pour x = 1.

D’où le tableau de variations, de signe de la dérivée seconde et de convexité de la fonction :



On remarquera que la convexité change pour x = 1. Au point , la courbe traverse sa tangente (elle passe dessous alors qu'elle était située au-dessus de la tangente).

Sa représentation graphique :

Sur l’intervalle I = [1 ; +∞[, les fonctions   et   sont définies dérivables deux fois.

et  qui est strictement négative sur I.

f ’’(x) strictement négative, f ’(x) strictement décroissante. Donc la fonction est concave, toujours située en dessous de ses tangentes, avec une pente de plus en plus faible.

et .
Comme 1 < x nous avons g’’(x) strictement positive, g’(x) strictement croissante. Donc g est convexe, située au-dessus de toutes ses tangentes, avec une pente de plus en plus forte.

De plus, f(1) = g(1) = 1. On peut donc en conclure que pour 1 < x, on aura f(x) < g(x).

Ce que l'on constate sur la représentation graphique ci-contre :



Remarque : pour le point suivant il est nécessaire d’avoir étudié les fonctions logarithme et exponentielle.

• La fonction est définie sur et est deux fois dérivable : et . Cette fonction n’est ni convexe ni concave (ou les deux si l’on veut). La pente de ses tangentes est constante et vaut 1.

• La fonction est définie sur [0 ; +∞[, deux fois dérivable : et .

Cette fonction est concave, toujours située en-dessous de ses tangentes, avec une pente de plus en plus faible.
Au point d’abscisse x = 1, l’équation réduite de sa tangente est y = x - 1. Donc en-dessous de la droite y = x.
On peut en conclure que la courbe représentative de la fonction ln est toujours en-dessous de la droite y = x.

• La fonction est définie sur , deux fois dérivable : et .

Cette fonction est convexe, toujours située au-dessus de ses tangentes, avec une pente de plus en plus forte. Au point d’abscisse x = 0, l’équation réduite de sa tangente est y = x + 1. Donc au-dessus de la droite y = x.

On peut en conclure que la courbe représentative de la fonction e^x est toujours au-dessus de la droite y = x.


Le schéma ci-dessous permet de visualiser tout ce qui vient d'être énoncé :