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Fonction carré

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Objectif

Parmi les fonctions numériques, la fonction carré possède un axe de symétrie.

Comment définit on la fonction carré ? Quel est le sens de variation et la représentation graphique de la fonction carré ?

1. Définition de la fonction carré

On appelle fonction carré la fonction f qui à tout nombre x associe son carré x².
Pour tout réel x, on note f (x) = x².

Exemples :
L'image de 4 par la fonction carré est 16.
L'image de - 7 par la fonction carré est 49.
L'image de

par la fonction carré est 7.

2. Sens de variation

La fonction carré est : strictement décroissante sur

et strictement croissante sur

ce qui signifie que :

Si a et b sont deux réels négatifs alors a < b équivaut à a² > b²
Si a et b sont deux réels positifs alors a < b équivaut à a² < b²

Exemple d'utilisation : Encadrement de x² sur ] - 2 ; 3 [

La fonction carré est décroissante sur

donc si -2 < x

0 alors

La fonction carrée est croissante sur

donc si

alors

On en déduit que si x > - 2 et x < 3 alors

Attention la réciproque est fausse : Si

, On ne peut pas en déduire que - 2 < x < 3.
Par exemple si x = - 2,5 alors x² = 6,25. Or

3. Représentation graphique de la fonction carré

La courbe représentative de la fonction carré dans un repère (O,I,J) s'appelle une parabole.

Cette parabole passe en particulier par les points A(1 ; 1), B(2 ; 4), C (3 ; 9), A' (-1 ; 1), B' (-2 ; 4) et C' (-3; 9).

Remarque : Les points A et A' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (OJ). Il est est de même des points B et B', et C et C'.

D'une façon générale,pour tout x, (-x)² = x² d'où f (-x) = f (x)

On en déduit que pour tout x, les points M(x ; x²) et M'(- x ; x²), sont deux points de la parabole et que M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

L'axe des ordonnées et donc un axe de symétrie de la parabole.

Lorsque pour tout x de son domaine de définition, f (-x) = f (x), on dira que la fonction est paire.
La fonction carré est donc paire.

Illustration animée : Sélectionner la courbe représentative de la fonction carrée puis déplacer le point A le long de la courbe.

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