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Factoriser à l'aide du discriminant

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Objectifs

Déterminer le nombre de racines d'une fonction polynôme de degré deux grâce au discriminant.
Factoriser un polynôme grâce au discriminant.

Points clés

Pour factoriser un polynôme, on a besoin de connaitre les valeurs de ses racines.

Suivant le signe du discriminant, un polynôme possède 0, 1 ou 2 racines réelles.


0 racine	1 racine (double)	2 racines (distinctes) et
Aucune factorisation possible

Pour bien comprendre

Identités remarquables
Racine d'un polynôme
Forme canonique d'une fonction polynôme de degré deux

Factoriser un polynôme du second degré consiste à l’écrire sous la forme d’un produit de polynôme du premier degré.
Ce n’est possible que si la fonction polynôme possède 1 ou 2 racines.

1. Notion de discriminant

a. Définition

Une fonction polynôme de degré 2 s'écrit sous la forme où , , sont des réels avec .

Sa forme canonique est donnée par la formule
.

Le discriminant de la fonction

est le numérateur de la dernière fraction : le nombre

. On le note à l'aide de la majuscule grecque « Delta » :

Remarque : on n'a pas besoin de mettre

sous sa forme canonique pour calculer

, on utilise directement la formule

Exemple : le discriminant de

est

et ainsi, ici,

b. Signe de delta et nombre de racines

Calculer permet de savoir si a 0, 1 ou 2 racines, et d'exprimer ces racines en fonction de , et .

Démonstration

En factorisant par la forme canonique de , on obtient :

On observe qu'on pourra factoriser le crochet si (donc si ) en considérant cette dernière fraction comme un carré (celui de sa propre racine) et en utilisant l'identité remarquable permettant de factoriser la différence de deux carrés :
si
or d'où :

Ainsi, si , s’annule pour et et sa forme factorisée est.
Remarque : si , alors s’annule pour et sa forme factorisée est .
Si aucune factorisation n'est possible, car ne possède aucune racine qui l'annule, puisque quel que soit on aura , et donc si , ou si .

À retenir

Soit telle que où , , sont des réels avec , 3 cas se présentent :


0 racine	1 racine (double)	2 racines (distinctes) et
Aucune factorisation possible

2. Méthode

Voici donc la méthode universelle pour factoriser un polynôme par le calcul du discriminant.

Étant donnée une forme développée d'une fonction polynôme, on calcule d'abord le discriminant. La fonction polynôme ne peut être factorisée que si ou si .
On calcule alors la ou les racines à l'aide des formules générales données dans le tableau.
On écrit sous forme factorisée, en n'oubliant pas le coefficient .

Exemple 1 : Donner l'expression factorisée de

avec

Ici , et . On calcule :
donc on a 2 racines distinctes et soit et .
On en déduit .
En développant 3 sur la première parenthèse, on obtient une factorisation plus élégante : .

Exemple 2 : Donner l'expression factorisée de

avec

Ici , et . On calcule : .
donc on a 1 racine double soit .
On en déduit .

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