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Factorisation d'une expression

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La factorisation permet de simplifier des expressions et de résoudre des équations en les transformant en équations-produits. La factorisation par un facteur commun ou les identités remarquables sont les techniques les plus utilisées.
Comment factoriser une expression avec un facteur commun ? Comment factoriser une expression avec des identités remarquables ?

1. Factorisation d'une expression

Factoriser une expression numérique ou littérale, c’est l’écrire sous la forme d’un produit.

Exemple d'expression factorisée :

L'expression (3x – 7)(2x + 4) est factorisée

car elle n'est composée que d'un seul terme

qui comporte DEUX facteurs

Exemples d'expressions non factorisées :

Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux facteurs.

2. Factorisation par facteur commun

Rappel : k × a + k × b = k × (a + b)
k × a – k × b = k × (a – b)
avec k, a et b trois nombres quelconques.

On dit que l’on a factorisé par k. On dit aussi que k est un facteur commun.

a. Facteur commun « évident »

Dans certains cas, on peut appliquer directement le rappel précédent :

Exemple 1 : factoriser l’expression

On a factorisé par (2x + 3) l’expression E en un produit de 2 facteurs.

Exemple 2 : factoriser l’expression

On a factorisé par 2 l’expression F en un produit de 2 facteurs, dont un à 3 termes.

b. Facteur commun « caché »

Parfois, le facteur commun n’est pas apparent. La première étape de calcul va alors consister à le faire apparaitre.

1. Factoriser l’expression

On remarque que

. On peut donc réécrire l’expression sous la forme

Le facteur (x – 2) est commun aux deux termes ;

par conséquent :

2. Factoriser l’expression

On remarque que

. On peut donc réécrire l’expression sous la forme

.

Le facteur (3x + 5) est commun aux deux termes ;

par conséquent :

3. Factorisation par identités remarquables

Les identités remarquables rencontrées lors des développements vont aussi nous permettre de factoriser des expressions. Pour cela, il suffit d’inverser ces formules de développement.
On obtient les formules suivantes :

Exemples :

1. Factoriser

On reconnaît la deuxième identité remarquable en posant : a = x et b = 3.

2. Factoriser

On remarque que 81 = 9² ; on peut donc utiliser la première identité remarquable en posant :
a = 2x – 1 et b = 9.

3. Factoriser

On remarque que

et on utilise la première identité remarquable en posant :
a = 2 – 3x et b =

Remarques :
• Le plus souvent, on factorise avec un facteur commun ou l'identité remarquable

.
• Factoriser une expression est très utile pour résoudre des équations-produits.

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