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Expressions littérales et simplifications

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Objectifs

Reconnaitre une expression littérale.
Simplifier et réduire l'écriture d'une expression littérale.

Points clés

Une expression littérale est une expression dans laquelle figure une ou plusieurs lettres.
Des conventions d’écritures et des règles de calculs permettent de simplifier les expressions littérales : ne pas écrire le symbole « × » dans certains cas, supprimer des parenthèses, etc.
On peut aussi réduire une expression littérale, c'est-à-dire diminuer le nombre d’opérations qui la composent, pour que cette expression soit plus simple.

1. Qu'est ce qu'une expression littérale ?

Une expression littérale est une expression dans laquelle figure une ou plusieurs lettres.
Chacune des lettres représente un nombre variable.

Exemples
• 3x + 17 et 2a + 3b + 7 sont des expressions littérales ;
• les formules d’aires et de périmètres sont aussi des expressions littérales : l’expression de l’aire d’un carré de côté c est c × c = c² et celle de son périmètre est 4c.

Méthode pour calculer la valeur d’une expression littérale pour un nombre donné :

Par exemple, calculons la valeur de l’expression littérale A = x² + 3x − 7 pour x = –2.

On remplace par –2 à chaque fois que x apparait dans l’expression littérale.
A = (–2)² + 3 × (–2) – 7
On effectue le calcul.
A = 4 – 6 – 7
A = –9

2. Simplifier l'écriture d'une expression littérale

a. Conventions d'écritures

Afin de simplifier les écritures littérales, on adoptera quelques conventions :

0 × x = 0, 1 × x = x et –1 × x = –x ;
Le signe « × » est supprimé entre 2 lettres ou devant une lettre ;
Exemples : 2 × b = 2b ou 3 × x × y = 3xy.
Le signe « × » est supprimé entre 2 parenthèses ou devant une parenthèse ;
Exemples
3 × (a + 5) = 3(a + 5)ou (x – 2) × (y + 3) = (x – 2)(y + 3).
Par convention, dans le produit d’un nombre et d’une lettre, on place le nombre devant la lettre.
Exemples : x × 4 = 4x ou 2 × y × 9 = 18y.

b. Suppression des parenthèses

Dans une expression littérale composée d’additions et de soustractions, on peut supprimer les parenthèses précédées d’un signe +, sans changer les signes à l’intérieur de la parenthèse.

Exemple
A = 3x + (+4x – 7)
A = 3x + 4x – 7 → Suppression de la parenthèse sans en changer l'intérieur
A = 7x – 7 → Réduction de l'expression littérale

Dans une expression littérale composée d’additions et de soustractions, on peut supprimer des parenthèses précédées d’un signe – , en changeant chaque signe à l’intérieur de la parenthèse.

Exemple
B = 9x – (–6x + 7)
B = 9x + 6x – 7 → Suppression de la parenthèse en changeant les signes à l'intérieur
B = 15x – 7 → Réduction de l'expression littérale

3. Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale revient à diminuer le nombre d’opérations la composant.

En pratique, réduire une expression revient à rassembler les termes en « x² », en « x » et les constantes.

Exemples : Réduisons les expressions A et B.
A = 4x + 8x = (4 + 8)x = 12x
L’expression est bien réduite car on est passé de 3 opérations (2 multiplications et une addition) à une seule multiplication au résultat.
On a réduit l’expression littérale en utilisant la formule de distributivité :

.

B = 2y² + 3y − 4 + 4y² − 2y + 1
B = (2 + 4)y² + (3 − 2)y + (−4 + 1)
B = 6y² + y − 3
On ne peut réduire davantage car cette expression littérale est composée d’éléments différents :
y² ; y et −3.

4. Ordonner une expression

Ordonner une expression littérale revient à écrire les termes dans l’ordre de puissances décroissantes ou croissantes de x.

Rappel
x = x¹ et 1 = x⁰.

Exemple : Ordonner l'expression 23x – 56 − 2x².
23x – 56 − 2x² n'est pas une expression ordonnée car elle est égale à 23x¹ − 56x⁰ − 2x².
Les puissances de x sont 1, 0 et 2. Les nombres 1, 0 et 2 ne sont rangés ni dans l'ordre croissant ni dans l'ordre décroissant.
On ordonne cette expression de deux manières différentes :
23x – 56 − 2x² = −56 + 23x − 2x² = −2x² + 23x − 56.

Remarque
En règle générale, on ordonne dans l’ordre des puissances décroissantes.

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