Exploiter un mouvement dans un champ uniforme

On étudie le mouvement d’un projectile de masse m dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen. Ce système se déplace dans un champ de pesanteur  uniforme, ce qui signifie que ce vecteur est le même en tout point.

On définit un repère à trois dimensions dans ce référentiel, dont :

• l’origine O correspond à la position initiale du mobile 
• Ox et Oy définissent un plan horizontal ;
• et Oz est selon la verticale, l’axe étant dirigé vers les altitudes croissantes.

Le projectile est lancé depuis une altitude nulle (le vecteur position initial  est nul) avec une vitesse  qui fait un angle θ avec l’horizontale, dans le plan Oxz. Le sol est supposé parfaitement horizontal et plat.

 

Position initiale :                  

Vitesse initiale : 

On néglige :

• les frottements de l’air (projectile aérodynamique) ;
• la poussée d’Archimède exercée par l’air sur le projectile (ce dernier est compact).

Le projectile n’est soumis qu’à son poids . Dans le repère choisi, la somme   des forces extérieures qui s’exercent sur lui s’écrit donc .

On applique la deuxième loi de Newton au centre de masse du projectile, auquel on affecte la masse m du projectile et sur lequel s’appliquent toutes les forces.

avec :  la somme des forces extérieures appliquées sur le projectile m la masse du projectile, en kg  le vecteur accélération du centre d’inertie du projectile ax, ay, az les composantes du vecteur accélération, en m·s–2

On obtient ,

d’où .

Le vecteur accélération est constant : le mouvement est uniformément varié.

L’accélération  est la dérivée de la vitesse  par rapport au temps :.

La vitesse est donc une primitive de l’accélération :

 donne 

Pour trouver les constantes C_x, C_y, C_z, on écrit que , ainsi :

d'où 

La vitesse  est la dérivée du vecteur position  par rapport au temps : .

Le vecteur position  est donc une primitive de la vitesse  :

donne 

Pour trouver les constantes C_x, C_y, C_z, on écrit que , ainsi :

d'où 

Les équations paramétriques trouvées pour  et  sont les équations horaires du mouvement.

On constate que la coordonnée y du vecteur position est nulle : le projectile évolue donc dans le plan Oxy. Il s’agit donc d’un mouvement plan, c’est-à-dire que le mouvement est réalisé dans un seul plan de l’espace.

On détermine la trajectoire dans ce plan, en combinant x(t) et z(t), puis en extrayant t de x(t) et en le remplaçant dans z(t).

On obtient l’équation d’une parabole.

Mouvement parabolique

Dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, une particule de masse m, de charge électrique q > 0 et de vitesse initiale  selon une direction x est plongée dans un champ électrostatique  uniforme dirigé selon y.

Position initiale :      

Vitesse initiale : 

Le poids de la particule est négligeable devant la force électrique , d’où :
 soit .

En calculant les primitives, on obtient les expressions de  et  : 

 et 

Il s’agit également d’un mouvement plan, car la particule évolue exclusivement dans le plan Oxy.

On combine les équations paramétriques  et  pour obtenir l’équation de la trajectoire . On obtient : 

La trajectoire est une parabole dont le sommet est O.