Exploiter la loi de décroissance radioactive

Le nombre N(t) de noyaux radioactifs d’un échantillon diminue au cours du temps du fait de la désintégration radioactive. Pendant une durée Δt, la variation du nombre de noyaux ΔN(t) est à la fois proportionnelle à la durée et au nombre de noyaux encore présents N(t).

La constante radioactive λ est caractéristique du noyau radioactif et représente la probabilité de désintégration par unité de temps, d'un noyau radioactif.

On établit l’équation vérifiée par N(t) :

∆N(t) = –λ × N(t) × ∆t  = –λ × N(t)

On fait tendre Δt vers zéro afin d’en obtenir la limite, qui correspond à la dérivée de N(t) par rapport au temps t.

On obtient finalement l’équation suivante vérifiée par le nombre de noyaux radioactifs encore présents N(t).

C’est une équation différentielle du premier ordre, car .

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction, à ne pas confondre avec une équation algébrique dont l’inconnue est un nombre.

Équation algébrique	Équation différentielle
Trouver le nombre x qui vérifie l’équation : 3 × x + 2 = 0 Solution : La solution est le nombre qui vaut : x =	Trouver la fonction f (x) définie sur l’ensemble des réels qui vérifie l’équation : 3 × f (x) + 2 = 0 Solution : La solution est la fonction qui à tout réel x associe la valeur f (x) : f (x) = Sa représentation graphique est la suivante.

Une équation différentielle du premier ordre est une équation où intervient la dérivée première de la fonction.

Équation différentielle du premier ordre
Notation mathématique	Notation différentielle
a × f' (x) + b × f (x) = c

La solution de l’équation nous donne l’évolution temporelle de la population de noyaux radioactifs : on l’appelle la loi de décroissance radioactive.

La solution de cette équation différentielle est une fonction exponentielle.

Une fonction exponentielle associe à tout réel x une valeur notée e^x. Il s’agit d’une fonction croissante sur l’ensemble des réels, dont la représentation graphique est la suivante.

Une fonction exponentielle peut avoir pour expression e^ax, avec a qui est un nombre réel.

• Pour des valeurs de a positives, plus a est grand et plus la fonction possède un taux de croissance important.
  Les limites sont et .
• Pour des valeurs de a négatives, la fonction exponentielle e^ax est une fonction décroissante.
  Les limites sont et .

Fonction dérivée de la fonction exponentielle
Notation mathématique	Notation différentielle
(eax)' = a × eax	(eax) = a × eax

La fonction exponentielle f (x) = e^ax est solution de l’équation différentielle .

En effet : .

La courbe de décroissance radioactive correspond à la représentation graphique de la loi de décroissance radioactive.

Allure d'une courbe de décroissance
radioactive et principe de la demi-vie

On peut aussi déterminer la demi-vie t_1/2 d’un noyau radioactif à partir de la loi de décroissance radioactive.

(car )

(car )

La formule qui relie la demi-vie t_1/2 et la constante radioactive λ est la suivante.

avec : t1/2 le temps de demi-vie, en s λ la constante radioactive, en s–1