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Exploiter la conservation du débit volumique

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Objectif

Exploiter la conservation du débit volumique pour déterminer la vitesse d’un fluide incompressible.

Points clés

En régime permanent indépendant du temps (aussi appelé régime stationnaire), un fluide s’écoule de telle façon que la valeur v de sa vitesse en chaque point est indépendante du temps.
Le débit volumique D_V est égal au rapport du volume V de fluide qui sort d’un réservoir, divisé par la durée Δt pendant laquelle ce volume s’écoule.
Le débit volumique D_V est égal au produit de la surface S de la section du tuyau traversée, par la valeur v de la vitesse du fluide.
Au cours d’un écoulement en régime permanent indépendant du temps, le débit volumique d’un fluide incompressible ne varie pas : il reste le même en chaque section du tuyau qu’il traverse.
Lorsque la section du tuyau diminue, la vitesse du fluide augmente donc.

Pour bien comprendre

Vitesse

1. Le débit volumique

Un liquide qui s’écoule dans un tuyau de section S est caractérisé par son débit volumique D_V. La vitesse v d’écoulement du fluide et la section du tuyau influent sur ce débit volumique.

a. Définition

Les gaz et les liquides sont des fluides, c’est-à-dire qu’ils ont la capacité de s’écouler.

Les liquides sont des fluides incompressibles, leur masse volumique est une constante pour une température fixée.

On considère un réservoir d’où s’écoule un liquide dans un tuyau de section S.

Écoulement d’un liquide d’un réservoir

Le débit volumique D_V est égal au volume de liquide qui sort du réservoir par unité de temps, c’est-à-dire qu’il est égal au rapport du volume V de liquide qui sort sur la durée Δt mise pour sortir du réservoir.

avec :

D_V le débit volumique, en m³·s^–1
V le volume de liquide qui sort du réservoir, en m³
Δt la durée, en s

Remarque
On peut aussi utiliser d’autres unités de volume ou de temps. 1 min = 60 s ; 1 L = 1 × 10^–3 m³

b. Autre expression du débit volumique

On considère un liquide qui s’écoule dans un tuyau et dont le débit volumique D_V est constant.

Un volume V de liquide va traverser une section S du tuyau pendant une durée Δt.

Colonne de liquide qui traverse une section du tuyau

Ce volume V peut s’écrire en fonction de la longueur l de la colonne de liquide qui traverse la section, ou en fonction de la durée Δt et de la vitesse d’écoulement v.

V = S × l
V = S × v × Δt

avec :

V le volume de liquide qui traverse la section, en m³
S la section du tuyau, en m²
l la longueur de la colonne de liquide qui traverse la section, en m
v la vitesse d'écoulement du liquide dans le tuyau, en m·s^–1
Δt la durée, en s

On peut exprimer le débit volumique en utilisant l’expression précédente.

Le débit volumique peut donc s’exprimer en fonction de la surface S de la section du tuyau et de la vitesse v d’écoulement du liquide dans le tuyau.

D_V = S × v

avec :

D_V le débit volumique, en m³·s^–1
S la surface de la section du tuyau, en m²
v la vitesse d’écoulement du liquide dans le tuyau, en m·s^–1

2. La conservation du débit volumique

On considère un fluide incompressible qui s’écoule dans un tuyau de section variable. En régime permanent indépendant du temps (appelé aussi régime stationnaire), la vitesse d’écoulement du fluide en chaque point est indépendante du temps.

Le débit volumique se conserve le long du tuyau, c’est-à-dire qu’il est le même à travers toute les sections du tuyau.

Conservation du débit volumique

La conséquence de cette conservation est que la vitesse d’écoulement du fluide n’est pas la même en tout point : elle dépend de la valeur de la surface S de la section du tuyau.

Soient trois sections différentes telles que : S₃ < S₁ < S₂

On applique la conservation du débit volumique :

(car S₁< S₂)
(car S₁ > S₃)

On en déduit la relation d’ordre pour les vitesses.

v₃ > v₁ > v₂

Si la surface de la section diminue, alors la vitesse d’écoulement augmente.

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