Exploiter la conservation de l'énergie mécanique

Soit un système de masse m, dans un référentiel supposé galiléen.

L’expression de l’énergie cinétique est la suivante.

avec : Ec l'énergie cinétique du système, en joule (J) m la masse du système, en kilogramme (kg) v la vitesse du système, en mètre par seconde (m·s–1)

L’expression de l’énergie potentielle E_p dépend des forces appliquées. Lorsque le système évolue en changeant d’altitude, il possède une énergie potentielle de pesanteur E_pp.

Remarque
Il y a deux forces qui dérivent d’une énergie potentielle : le poids  et la force électrique . Dans le cas où il n’y a pas de force électrique appliquée sur le système, seul le poids est pris en compte pour calculer l’énergie potentielle.

Une force est conservative si son travail sur un déplacement [AB] ne dépend pas du chemin suivi.
Lorsque la force  est conservative, on a un travail identique de cette force pour les deux chemins possibles C₁ et C₂.

avec : le travail de la force  entre les points A et B, par le chemin C1, en joule (J) le travail de la force  entre les points A et B, par le chemin C2, en joule (J)

Chemins C₁ et C₂ pris pour aller
d’un point A à un point B

Exemples
Le poids  est une force conservative.
La force de frottement  est une force non conservative car la valeur de cette force va dépendre du chemin suivi.

Les variations de E_c et E_p se compensent ainsi au cours du temps.

Il y a donc des transferts d’énergie entre E_p et E_c au cours du déplacement du système entre les points A et B.

Exemple – L’oscillation d’un pendule simple sans frottements

On remarque que :

• l’énergie mécanique E_m est bien la somme des énergies cinétiques E_c et potentielles E_p ;
• l’énergie mécanique est constante au cours du temps ;
• lorsque l’énergie potentielle E_p diminue, l’énergie cinétique E_c augmente : l’énergie est donc transférée d’une forme à une autre.

La variation d’énergie mécanique  du système correspond alors à la somme du travail de chaque force non conservative .

Remarque
Si le travail de ces forces est négatif, alors  : l’énergie mécanique diminue au cours du temps. Elle est progressivement dissipée sous forme de chaleur.

Exemple – L’oscillation d’un pendule simple avec frottements

On remarque que :

• l’énergie mécanique E_m est bien la somme des énergies cinétiques E_c et potentielles E_p ;
• l’énergie mécanique décroit au cours du temps, elle n’est pas constante ;
• lorsque l’énergie potentielle E_p diminue, l’énergie cinétique E_c augmente : l’énergie est donc transférée d’une forme à une autre ;
• les courbes représentatives des énergies montrent bien que le système effectue des oscillations au cours du temps.

Pour résoudre un problème en utilisant l’énergie mécanique, il faut respecter les étapes suivantes.

On présente le système, on fait le bilan des forces appliquées au système puis on les représente sur un schéma.

On calcule les énergies cinétiques et potentielles du système étudié au point A : E_c(A) et E_p(A) à l’état initial.

On en déduit l’énergie mécanique au point A : E_m(A) = E_c(A) + E_p(A).

On calcule les énergies cinétiques et potentielles du système étudié au point B : E_c(B) et E_p(B) à l’état initial.

On en déduit l’énergie mécanique au point B : E_m(B) = E_c(B) + E_p(B).

• Cas de la conservation de E_m : on applique la relation et on en déduit l’inconnue du système.
• Cas de la non conservation de E_m : on applique la relation pour en déduire le travail des forces non conservatives .

Un corps de masse m est lancé en A avec une vitesse . Durant son mouvement, il n’est soumis qu’à son poids , les frottements étant négligés : c’est le cas de la chute libre sans frottements.

On travaille dans le référentiel terrestre, qui est galiléen pour des temps courts.
On cherche à déterminer la vitesse v_B du corps quand il arrive au point B. On choisit l’altitude de B comme origine des altitudes. L’altitude de A est égale à h.

Schéma de la situation

Le système est le corps de masse m. Il n’est soumis qu’à son poids P.

On calcule l’énergie mécanique du corps en A : E_m(A) = E_c(A) + E_p(A).

La seule énergie potentielle à prendre en compte est l’énergie potentielle de pesanteur E_pp car ce corps est soumis à son poids.

On a donc E_m(A) = E_c(A) + E_pp(A) =  × m × v_A² + m × g × z_A,
d'où E_m(A) =  × m × V₀² + m × g × h.

On calcule l’énergie mécanique du corps en B :
E_m(B) = E_c(B) + E_pp(B) =  × m × v_B² + m × g × z_B.
Puisque z_B = 0, on a E_m(B) =  × m × v_B².

Il n’y a pas de forces non conservatives agissant sur le corps, donc son énergie mécanique est conservée.
E_m(A) = E_m(B), soit  × m × V₀² + m × g × h =  × m × v_B²,
donc V₀² + 2 × g × h = v_B², d'où .

On reprend l’exemple précédent mais cette fois-ci la masse est soumise à des forces de frottements dues à l’air .

L’énergie mécanique ne se conserve pas.

On applique la relation pour en déduire le travail des forces non conservatives.

On a donc .
D’où .