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Exemples de champs scalaires et vectoriels

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Objectif(s)

Définir la notion de champ en physique.
Présenter les champs scalaires et les champs vectoriels.
Donner des exemples de champs, en voyant qu’il existe différentes manières de les représenter.

1. Notion générale de champ

a. Historique

La pression atmosphérique a été mise en évidence en 1643 par Evangelista Torricelli, ce qui a suggéré l’introduction d’un champ de pression. Concrètement, il s’agit de voir que la pression atmosphérique est mesurable, par un baromètre, en divers endroits. On constate alors qu’elle peut varier en fonction de la position et du temps. La pression atmosphérique diminue avec l’altitude, et dépend des conditions météorologiques (anticyclones, dépressions).

La notion de champ a été formalisée par James Clerk Maxwell en 1861. Sa vision est qu’un corps plongé dans un champ subit une force selon son emplacement. En dehors du champ, la force n’agit plus. La notion de champ lui a permis de développer son modèle sur l’électromagnétisme. Il a décrit les champs électriques et magnétiques.

b. Définition générale

En physique, un champ donne en un point de l’espace, à une date donnée, la valeur d’une grandeur physique. Celle-ci peut être de différentes natures. Nous verrons les champs scalaires et les champs vectoriels. On dit qu’un champ établit une correspondance entre un point de l’espace avec une grandeur, scalaire ou vectorielle.

Si un champ est uniforme, la grandeur sera constante, et ne dépendra donc pas de la position.

2. Champ scalaire

a. Définition

En mathématiques, et par extension en physique, un scalaire désigne un nombre, que nous prendrons réel dans ce cours. Un scalaire est donné par un seul nombre, par opposition à un vecteur, qui a lui plusieurs composantes, comme par exemple

.

Un champ scalaire donne la valeur d’une grandeur physique scalaire en fonction de la position, pour une date donnée.

En deux dimensions, la grandeur sera fonction des deux dimensions spatiales x et y. De la même manière, en trois dimensions, la grandeur dépendra alors de x, y, z.

b. Représentations de champs scalaires et exemples

En 2D, les champs scalaires peuvent être représentés par un coloriage du plan. Chaque couleur est associée à une gamme de valeurs.
Si la grandeur est la température, il est courant d’adopter le code couleur habituel rouge = chaud, bleu = froid, avec un dégradé passant par le vert = tiède.

Une légende est souvent conseillée afin que le graphe ait un sens.
Il est aussi imaginable de marquer quelques valeurs, pour certains points particuliers. Par exemple, sur une carte des températures en météorologie, les valeurs dans les villes principales sont notées.

Le coloriage peut alourdir le graphe. On peut alors ne faire apparaître que des courbes le long desquelles la grandeur physique est constante. Ce sont des équipotentielles ou des lignes de niveau. En météorologie, ce mode de représentation s’emploie pour la pression atmosphérique.

Pour certaines applications, la valeur de la grandeur étudiée est indiquée selon un troisième axe, via un graphe tridimensionnel. L’exemple ci-dessous modélise un champ de pression d’une tornade. Le choix d’une représentation 3D privilégie l’aspect visuel, au détriment d’une lecture aisée des valeurs prises par la grandeur physique étudiée.

Il est quelquefois pertinent d’étudier des champs scalaires dans un espace 3D, par exemple en géoscience pour opérer une cartographie 3D d’un sous-sol. Un champ scalaire en 3D n’est pas aisé à lire, et requiert de « naviguer » en 3D, via l’outil informatique. Pour faciliter sa lecture, on fait des coupes 2D selon des plans intéressants.

3. Champ vectoriel

a. Définition

Pour une date donnée, un champ vectoriel, ou champ de vecteurs, donne la valeur d’une grandeur vectorielle en fonction de la position. Autrement dit, chaque point de l’espace est mis en correspondance avec un vecteur. Comme pour les champs scalaires, un champ vectoriel peut être étudié dans un espace 2D, ou dans un espace 3D.

b. Exemples

Comme exemple de champ vectoriel, on peut penser au champ de pesanteur

. Où que l’on soit, l’attraction à distance qu’exerce la Terre sur un corps de masse m se manifeste par le vecteur poids

. Localement, le champ de pesanteur a la propriété d’être uniforme, c'est-à-dire que le vecteur

ne varie pas selon l’endroit où l’on le mesure.

En mécanique des fluides, le mouvement de gaz ou de liquides est étudié en utilisant des champs de vitesse. Ces derniers donnent la vitesse que possède une « particule » du fluide selon sa position. Si le champ de vitesse ne varie pas au cours du temps, on parle de régime permanent. Ci-après une modélisation du champ de vitesse dans une tornade :

Un champ vectoriel est construit en traçant les vecteurs associés à des points du plan régulièrement espacés. Les champs vectoriels 3D sont imaginables, mais rarement employés en l’état, car peu lisibles.

Comme autres exemples, il y a aussi les champs électriques qui résultent de l’interaction entre corps chargés électriquement. On a également les champs magnétiques créés par le mouvement de charges électriques et par des aimants. Ces deux types de champs seront repris lors des fiches suivantes. Ci après un champ électrique créé par une particule chargée.

Les champs vectoriels présentent des applications pour déterminer la trajectoire de corps « soumis » à ces champs. Mais, quelquefois, seule la norme du vecteur nous intéresse. Cela concerne par exemple l’étude des ondes électromagnétiques d’antennes émettrices (diagrammes de rayonnement). Dans ces cas là, le champ dessiné est un champ scalaire, car la norme d’un vecteur est un nombre …

L'essentiel

Un champ est un outil physique qui donne, pour un point de l’espace, une valeur d’une grandeur physique. Autrement dit, le champ établit une correspondance entre une position de l’espace et une valeur prise par la grandeur physique étudiée.

On parle de champ scalaire lorsque la grandeur physique est un nombre (réel). La température et la pression d’une zone sont décrits par des champs scalaires. Il existe différentes manières de représenter un champ scalaire selon son application : coloriage du plan, équipotentielles, graphe 3D …

Un champ vectoriel établit un lien entre une position de l’espace est une grandeur physique vectorielle. Les champs de vitesse en sont un exemple. Le champ de pesanteur est un champ vectoriel uniforme localement. Les champs électriques et magnétiques sont d’autres exemples de champ vectoriels.

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