Étudier un mouvement dans un accélérateur de particules

On étudie le mouvement d’une particule chargée de charge q, de masse m négligeable, dans une zone où règne un champ électrique .

Ce champ électrique est créé entre les armatures d’un condensateur. Un condensateur est composé de deux plaques métalliques parallèles qui portent chacune une charge électrique opposée : +Q et –Q.

Schéma d’un condensateur

La valeur E de ce champ électrique est donnée par la relation suivante.

avec : E la valeur du champ électrique, en volt par mètre (V·m–1). |U| la valeur absolue de la tension électrique entre les deux armatures, en volt (V) d la distance entre les deux armatures, en mètre (m)

La force électrique  exercée

On réalise sur chacune des plaques une ouverture d’entrée et de sortie et on place, sans vitesse initiale, une particule chargée de charge q positive au niveau de l’ouverture réalisée dans la plaque chargée positivement. On définit un repère .

Repère et position initiale de la particule

La force électrique  exercée par le champ électrique va attirer cette particule vers la plaque chargée négativement.

avec : F la valeur de la force électrique, en newton (N) E la valeur du champ électrique, en volt par mètre (V·m–1) q la charge de la particule, en coulomb (C)

Afin de déterminer quel type de mouvement va avoir la particule, on détermine les équations horaires du mouvement, qui correspondent aux expressions des coordonnées en fonction du temps. On applique pour cela la deuxième loi de Newton à cette particule ponctuelle dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

La résultante des forces se limite à la force électrique car on peut négliger le poids de la particule (sa masse est négligeable).

Condition initiale :

 et  

Deuxième loi de Newton :

On cherche les primitives de chaque coordonnée pour obtenir les coordonnées du vecteur vitesse, et on cherche les constantes en appliquant les conditions initiales.

On cherche les primitives de chaque coordonnée pour obtenir les coordonnées du vecteur position, et on cherche les constantes en appliquant les conditions initiales.

On constate que le mouvement est rectiligne et se fait selon l’axe (Oy). Ce mouvement est uniformément accéléré car la valeur de l’accélération est constante et positive.

Pour calculer la vitesse de la particule à la sortie du condensateur (par l’ouverture dans la plaque chargée négativement), on applique le théorème de l’énergie cinétique entre l’entrée et la sortie de la particule.

Rappel – Travail d’une force

Force appliquée lors d’un déplacement

Le travail d’une force constante  sur un trajet AB est égal à  .

Pour la particule chargée, on a AB = d, F = q × E et α = 0 soit cos(α) = 1. On obtient .

La vitesse à l’entrée est nulle, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit donc de la manière suivante.