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Étudier le signe d'une expression algébrique

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Objectifs

Déterminer le signe d’une expression algébrique du premier degré.
Déterminer le signe d’une expression algébrique factorisée du second degré.

Points clés

Étudier le signe d'une expression algébrique d'inconnue revient à chercher pour quelles valeurs de cette expression est positive ou nulle, et pour quelles valeurs de elle est négative ou nulle. Cela revient à résoudre deux inéquations d'inconnue .
Le signe d’une expression de la forme dépend du signe de .
Étudier le signe d'une expression de la forme revient à étudier séparément le signe des facteurs et puis à appliquer la règle des signes.
Cela revient à résoudre les inéquations et .
Pour cela, on utilise un tableau de signes.
Pour étudier le signe d'une expression factorisée à l'aide d'un tableau de signes :
- Construire un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le produit des deux facteurs.
- Placer les 0 dans le tableau.
- Placer les signes de chaque facteur, de part et d’autre du 0.
- Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes pour chaque colonne.

Pour bien comprendre

Résolution d'une inéquation du premier degré à une inconnue
Intervalles

1. Définition

Étudier le signe d'une expression algébrique d'inconnue

revient à chercher pour quelles valeurs de

cette expression est positive ou nulle, et pour quelles valeurs de

elle est négative ou nulle. Cela revient à résoudre deux inéquations d'inconnue

Exemple
Étudier le signe de l'expression

.
Cela revient à chercher l'ensemble des valeurs de

pour lesquelles l'expression est positive ou nulle, et l'ensemble des valeurs de

pour lesquelles l'expression est négative ou nulle. On cherche donc à résoudre les inéquations

.
On obtient :

pour

Remarque
Il est possible de présenter le résultat de l'étude de signe sous la forme d'un tableau de signes. Pour l'exemple précédent, on obtient alors :

2. Signe d'une expression algébrique du premier degré

a. Cas général

Rappel
Une expression algébrique du premier degré s'écrit sous la forme

, avec

Étudier le signe de revient à résoudre les deux inéquations et .

Résolvons la première inéquation. On a :
si m > 0 (l'inégalité garde le même sens).
si m < 0 (l'inégalité change de sens).

Résolvons la deuxième inéquation. On a :
si m > 0 (l'inégalité garde le même sens).
si m < 0 (l'inégalité change de sens).

On en déduit que le signe d’une expression de la forme

dépend du signe de

.
Si

, alors le tableau de signes de l'expression est le suivant :

b. Exemples

Exemple 1
Étudier le signe de l'expression

.
Pour cela, on cherche à résoudre les inéquations

.
On obtient pour la première inéquation :

On en déduit, pour la deuxième inéquation :

On obtient donc le tableau de signes de l'expression :

Exemple 2
Étudier le signe de l'expression

.
Pour cela, on cherche à résoudre les inéquations

.
On obtient pour la première inéquation :

On en déduit, pour la deuxième inéquation :

On obtient donc le tableau de signes de l'expression :

Remarque
Dans chacun des exemples, on aurait pu déduire directement le tableau de signes de l'expression à partir du signe du coefficient m.

3. Signe d'une expression algébrique factorisée du second degré

a. Principe

Rappel
Une expression algébrique factorisée du second degré s'écrit sous la forme

, avec

Étudier le signe d'une telle expression revient à étudier séparément le signe des facteurs

puis à appliquer la règle des signes.
Cela revient à résoudre les inéquations

.
Pour cela, on utilise un tableau de signes.

b. Règle des signes

Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Le produit de deux nombres positifs est positif.
Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est négatif.

Exemples

(négatif par positif donne négatif).

(positif par positif donne positif).

(négatif par négatif donne positif).

c. Méthode et exemple

Méthode

Pour étudier le signe d'une expression factorisée à l’aide d’un tableau de signes :

Déterminer la valeur de qui annule chacun des facteurs.
Construire un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le produit des deux facteurs.
Placer les 0 dans le tableau.
Placer les signes de chaque facteur, de part et d’autre du 0.
Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes pour chaque colonne.

Exemple
Étudier le signe de l'expression

.
Cela revient à résoudre les inéquations

.
On applique la méthode précédente.

On détermine la valeur de qui annule chacun des facteurs.
On construit un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le produit des deux facteurs.
On place les 0 dans le tableau, en utilisant l’étape 1.
s’annule pour et pour .
On place les signes en repérant le signe du coefficient de dans chacun des facteurs. Ici, chaque coefficient est positif donc, d’après le signe d’une expression algébrique du premier degré, l’expression est négative avant le 0 et positive après le 0.
On applique la règle des signes par colonne. La dernière ligne du tableau indique le signe de l'expression algébrique .

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