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Étude d'un système solide-ressort et des forces de frottements

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Objectifs :

• Quelle est l'expression de l'énergie mécanique d'un système solide-ressort ?
• Ce système constitue-t-il un système conservatif ?

L'énergie cinétique d'un solide relie le carré de la vitesse de ce solide et sa masse.
L'énergie potentielle de pesanteur d'un solide dépend de sa masse et de l'altitude où il se trouve.
Et l'énergie mécanique relie ces deux grandeurs.

1. Le système solide-ressort

a. Le référentiel d'étude

Un repère

est associé à un référentiel terrestre, considéré comme galiléen pour des temps courts.

L'axe (O_x) de ce repère est choisi de telle sorte qu'il soit horizontal et "parallèle" à l'axe du ressort. Un solide, supposé indéformable, de masse m est relié au ressort de masse négligeable devant celle du solide, à spires non-jointives, de constante de raideur k et de longueur à vide L_o. Ce ressort est relié à l'autre extrémité à un point fixe.

Lorsque le système est immobile, à la date t = 0 s, le centre d'inertie G du solide coïncide avec l'origine du repère O.

Initialement, le ressort est écarté (comprimé ou étiré) de sa position d'équilibre d'une longueur

, puis lâché sans vitesse initiale : le système oscille alors autour de sa position d'équilibre O.

b. Bilan des forces appliquées au système

Le solide est soumis à trois forces : son poids

, la réaction du support

et la force de rappel

exercée par le ressort.

c. Travaux des forces

Le poids

et la réaction

du support (en l'absence de frottement) ont des directions perpendiculaires à l'axe (Ox), direction du déplacement donc leur travail est nul :

Le travail total W_total du système est :

, à laquelle correspond une énergie potentielle élastique

2. Paramètres influençant l'énergie mécanique

On rappelle que :

• Le système solide-ressort constitue un système oscillant.
Son allongement est donné par :

, où x_m est l'amplitude (en m) correspondant à un allongement maximum atteint lors d'une oscillation,

(en s) la période propre de l'oscillateur et φ₀(en rad) l'origine des phase (décalage de la sinusoïde selon l'axe horizontal des temps). x_met φ₀sont déterminées par les conditions initiales.

• La vitesse v du solide est la dérivée de la position x :

a. Énergie cinétique

Démonstration :

; où

est la vitesse du centre d'inertie du solide.

Avec

, l'expression de l'énergie cinétique devient :

b. Énergie potentielle élastique

L'énergie potentielle élastique E_pk du système solide-ressort est donnée par :

L'énergie potentielle élastique est celle que doit fournir un opérateur pour étirer ou comprimer le ressort.

c. Énergie mécanique

L'énergie mécanique E_m du système est la somme de son énergie cinétique E_c et de son énergie potentielle élastique E_pk. On note E_m = E_c + E_pk.

Démonstration :

car,

(relation trigonométrique).

E_m dépend donc de la raideur du ressort k (en N.m^-1) et de l'amplitude des oscillations x_m (en m).

3. Conservation de l'énergie du système

a. Oscillateur non-amorti

Lorsque le système solide-ressort n'est soumis à aucun frottement, son amplitude x_m ne change pas, donc l'énergie mécanique du système est constante.

Lorsque le système atteint sa déformation maximale (l'étirement ou la compression du ressort est alors maximum), l'énergie cinétique du système est nulle. En parallèle, l'énergie potentielle élastique du système est maximum lorsque la déformation du système est maximale.

À l'opposé, l'énergie cinétique atteint un maximum quand le ressort passe par sa position d'équilibre (x = 0), alors que l'énergie potentielle élastique est nulle à cette position.

L'énergie cinétique diminue pendant que l'énergie potentielle élastique du système augmente : l'énergie mécanique est donc constante, elle se conserve. Le système est donc conservatif.

b. Oscillateur amorti

Lorsque le système solide-ressort est soumis à des frottements, son amplitude x_m diminue donc l'énergie mécanique du système diminue. Elle n'est plus constante donc ne se conserve pas.

La diminution de l'énergie mécanique est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.

L'essentiel :

• Énergie cinétique :

.

• Énergie potentielle élastique :

.

• Énergie mécanique :

.

• Oscillateur non-amorti : E_m est constante ; E_c diminue pendant que E_pk augmente, et inversement. Le système est dit conservatif.

• Oscillateur amorti : E_m diminue ; sa diminution est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.

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