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Equations produits, quotients et du 1er degré

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Équations produits, quotients et du premier degré

De nombreux problèmes de la vie de tous les jours se ramènent à la résolution d'une équation du premier degré. C'est pourquoi, il est nécessaire de les étudier.Comment définir et résoudre une équation du premier degré ? Comment se ramener à une équation du premier degré et la résoudre ? Qu'est ce que le principe de dichotomie pour encadrer une solution ?

1. Equations du premier degré

a. Définition d'une équation du premier degré

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs lettres appelées inconnues.

Résoudre une équation consiste à trouver la ou les valeurs des inconnues.

Exemples : a) 3x + 5 = 0 est une équation d’inconnue x ; b) 4 - 2y = 9y est une équation d’inconnue y ; c) 2x + 3y = 9z est une équation d’inconnues x, y et z.

b. Degré d'une équation

Le degré d’une équation est la plus grande valeur de l’exposant des inconnues.

Si le degré est 1, l'équation est du 1er degré; Si le degré est 2, l’équation du 2nd degré … Exemples : a) 3x + 5 = 0 est une équation du premier degré ; b) 2x² + 3x - 5 = 0 est une équation du 2nd degré.

c. Résolution des équations x + a = b et ax = b

On conserve une égalité en ajoutant ou retranchant le même nombre aux 2 membres.

On conserve une égalité en multipliant ou divisant par un même nombre non nul les 2 membres.

Exemples : Résoudre les équations suivantes : 1)

. La solution de cette équation est -2. 2)

. La solution de cette équation est 1. 3)

. La solution de cette équation est

d. Résolution d'une équation du premier degré à une inconnue

Méthodologie : Le but est de se ramener à la résolution d’une équation du type ax=b ou x+a=b. Pour cela on doit regrouper les inconnues d’un côté et les nombres de l’autre.Exemples :1) Résoudre 3x + 4 = 5 - 8x Il s’agit d’une équation du 1er degré à 1 inconnue. Pour la résoudre, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :

La solution de cette équation est

. 2) Résoudre 3(x+2) = 4 + x Pour pouvoir résoudre cette équation, il va falloir développer le membre de gauche.

Pour résoudre cette équation, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :

La solution de cette équation est -1.

2. Equations pouvant se ramener à une équation du premier degré

a. Développer - Réduire

Pour résoudre une équation, il peut parfois s’avérer utile de développer et de factoriser les expressions afin de se ramener à une équation du 1er degré, pour cela, il faut s’entraîner à calculer mentalement si les puissances de x se neutralisent.Exemple : Résoudre x(x+1) = x² + 3

La solution de cette équation est 3.

b. Factoriser - Equation produit

Il pourra s’avérer utile de factoriser afin de transformer l’équation en une équation produit.En effet :

Un produit de 2 facteurs est nul

l’un des facteurs est nul

Exemples : 1) Résoudre x² = x

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul.

Les solutions de cette équation sont 0 et 1. 2) Résoudre

On reconnaît une différence de 2 carrés, on peut donc factoriser :

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul :

Les solutions de cette équation sont

c. Equation quotient

Une équation quotient est de la forme

Exemple : Résoudre

La solution de cette équation est - 1.

3. Principe de dichotomie

Principe de dichotomie : On se propose de résoudre une équation. Soit s la solution sur un intervalle I.L’idée consiste à partager l’intervalle où se trouve s en deux intervalles de la même longueur, à choisir dans lequel s se situe, puis à recommencer cela avec ce nouvel intervalle. Application à la résolution de x² - 3 = 0 sur [0;2].Soit s une solution (si elle existe) de cette équation sur [0 ;2]. Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 3.On calcule la moyenne des bornes de [0 ;2] :

donc s appartient à [1 ; 2]. On applique de nouveau ce principe : On calcule la moyenne des bornes de [1 ;2] :

Donc s appartient à [1,5 ; 2].

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