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Equations et inéquations. Définitions et vocabulaire

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Équations et inéquations: Définitions et vocabulaire

Sommaire :
- Définitions et propriétés des équations et inéquations
- Equations et inéquations produit et quotient.

1. Equation

a. Définition

Définition Soit f une fonction. L'égalité f(x) = 0 est une équation d'inconnue x. Résoudre l'équation f(x) = 0 revient à trouver tous les antécédents de 0 par f. Les nombres ainsi trouvés sont appelés les racines ou les solutions de l'équation f(x) = 0.
Par ailleurs, il existe également des équations du second degré.
Exemples : 2x + 3 = 0 est une équation d'inconnue x. 4x² - 7 = 0 est une équation d'inconnue x.

Remarque :

Soient f et g deux fonctions. Les équations du type f(x) = g(x) peuvent se ramener à des équations telles que celles vues dans la définition ci-dessus. Exemples : 5x - 2 = 4x + 3 est une équation d'inconnue x. 4x² + 1 = 2x est une équation d'inconnue x.

b. Propriétés

Propriété Si on ajoute un même nombre aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente à l'équation de départ et cette nouvelle équation aura les mêmes solutions que la première.
 
Propriété Si on multiplie par un même nombre non nul les deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente qui aura les mêmes solutions que l'équation de départ.
 
2. Inéquation
a. Définition

b. Propriétés

Propriété Si on ajoute un même nombre aux deux membres de l'inéquation on obtient une inéquations équivalente à la première et qui aura donc les mêmes solutions.
Exemple 1 : Soit l'inéquation -7x - 5 < 0 de l'exemple 1. On peut ajouter 5 à chaque membre de l'inéquation. On obtient alors -7x - 5 + 5 < 0 + 5, soit -7x < 5. Exemple 2 :
Propriété
Si on multiplie par un même nombre positif non nul les deux membre de l'inéquation, on ne change pas le sens de l'inéquation. L'inéquation obtenue aura donc les mêmes solutions que l'inéquation de départ.
Exemple :
Propriété
Si on multiplie par un même nombre négatif non nul, les deux membres d'une inéquation, on change le sens de l'inéquation ainsi obtenue pour que cette dernière soit équivalente à la première inéquation.
Exemple :

3. Equations et inéquations particulières

a. Equations et inéquations produit

b. Equations et inéquations quotient

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