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Energie mécanique d'un système solide-ressort

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Objectif : Quelle est l'expression de l'énergie mécanique d'un système solide-ressort ? Le système solide-ressort constitue-t-il un système conservatif ?
1. Le système solide-ressort
a. Le référentiel d'étude

Lorsque le système est immobile, à la date t = 0s, le centre de gravité G du solide coïncide avec l'origine du repère O.
Le ressort est écarté (comprimé ou étiré) de sa position d'équilibre puis lâché sans vitesse initiale : Le système oscille alors autour de sa position d'équilibre.

b. Bilan des forces appliquées au système
Le système solide-ressort est soumis à plusieurs forces :

c. Travaux des forces
2. Energie mécanique

Rappel :
Le système solide-ressort constitue un système oscillant. Son allongement est :

 

x = xm cos [(2πt/T0) + φ0] ;
où xm est l'amplitude maximum correspondant à un allongement maximum,
T0 la période propre de l'oscillateur et φ0 l'origine des phases. xm et φ0 sont déterminées par les conditions initiales.
La vitesse v du solide, supposé indéformable est :
 
v = dx / dt = - xm × (2π/T0) × sin [(2πt/T0) + φ0]
a. Energie cinétique
L'énergie cinétique Ec est donnée par la relation suivante :
b. Energie potentielle élastique
L'énergie potentielle élastique Epk d'un système solide-ressort est :
 
C'est l'énergie que doit fournir un opérateur pour étirer ou comprimer le ressort.
c. Energie mécanique
L'énergie mécanique Em du système est la somme de son énergie cinétique Ec et de son énergie potentielle de pesanteur Epk :
 
Em dépend de la raideur du ressort et de l'amplitude des oscillations.
 
 
3. Conservation de l'énergie du système
 
a. Oscillateur non amorti 
 
Lorsque le système solide-ressort n'est soumis à aucun frottement, son amplitude xm ne change pas donc l'énergie mécanique du système est constante.
Lorsque le système atteint son amplitude maximum (l'étirement ou la compression du ressort est alors maximum) ; l'énergie cinétique du système est nulle puis elle augmente.
Elle est maximum quand le ressort passe par sa position d'équilibre (x = 0).
Lorsque le système atteint son amplitude maximum ; l'énergie potentielle élastique du système est maximum puis elle diminue.
Elle est nulle quand le ressort passe par sa position d'équilibre (x = 0).
L'énergie cinétique diminue pendant que l'énergie potentielle élastique du système augmente : l'énergie mécanique est donc constante, elle se conserve.
 

 

 
b. Oscillateur amorti 
 
Lorsque le système solide-ressort est soumis à des frottements, son amplitude xm diminue donc l'énergie mécanique du système diminue ; elle n'est plus constante donc ne se conserve pas.
La diminution de l'énergie mécanique est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.
 

 
 
L'essentiel
• Oscillateur non amorti :
Em est constante ; Ec diminue pendant que Epk augmente.
Le système est conservatif .
• Oscillateur amorti :
Em diminue ; sa diminution est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.

 

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