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Écriture matricielle d'un système d'équations linéaires

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Objectif

Traduction d'un système d'équations linéaires en écriture matricielle.
Résoudre le système en utilisant l'inverse d'une matrice.

1. Écriture matricielle d'un système

a. Cas général

Soit n un entier naturel non nul, le système (S) donné par :

se traduit par l'écriture matricielle suivante :
AX = B avec

b. Exemple

Le système suivant

se traduit par

2. Résolution à l'aide de matrices

a. Propriété

Si A est une matrice carrée inversible d'ordre n, alors le système d'équation dont l'écriture matricielle est AX = B admet une unique solution : X = A^-1B.

Exemple :
Le système

a pour écriture matricielle AX = B avec

. Le déterminant de A est non nul, A est donc inversible.
À l'aide d'une calculatrice, on obtient

. Il y a donc une unique solution X = A^-¹B =

b. Cas particuliers

Si la matrice A n'est pas inversible, le système admet soit une infinité de solutions, soit aucune solution.

Exemple 1 :

a pour écriture matricielle AX = B avec

. Le déterminant de A est nul donc A n'est pas inversible.
On constate que la ligne 2 du système vaut 2 fois la première ligne, il y a donc une infinité de solutions.

Exemple 2 :

a pour écriture matricielle AX = B avec

. Le déterminant de A est nul donc A n'est pas inversible.
Ici, la première et la seconde ligne du système ne sont pas proportionnelles, il n'y a donc pas de solutions.

L'essentiel

Un système d'équation se traduit par le produit matriciel AX = B.
Ce système admet une unique solution si A est inversible : X = A^-1B.

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