Fiche de cours

Droite numérique et intervalles

Lycée > Seconde > Mathématiques > Droite numérique et intervalles

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Représenter des réels et des intervalles sur une droite numérique.
Connaitre les différents types d’intervalles.
Déterminer si un réel appartient ou non à un intervalle.
Connaitre et manipuler les opérations de réunion et d’intersection d’intervalles.

Points clés

Soit (OI) une droite graduée telle que OI = 1.
À tout point M de la droite, on peut associer un unique réel , appelé son abscisse, qui correspond à la valeur de sa graduation sur la droite. Réciproquement, à tout nombre réel est associé un unique point d’une droite graduée.
Un intervalle de est un ensemble de nombres compris entre deux bornes.
Soient deux intervalles et de .
La réunion des intervalles et est l’ensemble de tous les réels qui appartiennent à au moins l’un des deux intervalles (on dit aussi que ce sont les réels qui appartiennent à ou à ). On note ce nouvel ensemble (on dit « union »).
L’intersection des intervalles et est l’ensemble de tous les réels qui appartiennent aux deux intervalles (on dit aussi que ce sont les réels qui appartiennent à et à ). On note ce nouvel ensemble (on dit « inter »).

Pour bien comprendre

Inégalités ≤ ,<,≥, >
Repérer des points sur une droite graduée par leur abscisse

1. Droite numérique

Dans le plan muni d’une unité de longueur, toute droite peut être graduée.
Il suffit pour cela de disposer de deux points distincts : l’origine O et un point I tel que OI = 1.

Propriété
Soit (OI) une droite graduée telle que OI = 1.
À tout point M de la droite, on peut associer un unique réel

, appelé son abscisse, qui correspond à la valeur de sa graduation sur la droite. Réciproquement, à tout nombre réel est associé un unique point d’une droite graduée.

L’ensemble de toutes les valeurs des abscisses des points de la droite est égal à l’ensemble des réels, noté ℝ.

La droite (OI) est donc associée à un ensemble de nombres et est appelée droite numérique.

Propriété

L’ensemble ℝ est ordonné : on peut comparer deux réels entre eux par des inégalités <, ≤, ≥ ou >.
L’ensemble ℝ ne possède pas de plus grand nombre.
L’ensemble ℝ ne possède pas de plus petit nombre.

Pour rappeler cette propriété, on écrit aussi l’ensemble ℝ sous la forme d’un « intervalle » .

Le symbole signifie « infini » ; ce n’est pas un nombre et il ne doit donc pas être utilisé dans des calculs, seulement dans des notations d’intervalles (voir le paragraphe suivant).
signifie qu’il n’y a pas de plus grand élément dans ℝ.
signifie qu’il n’y a pas de plus petit élément dans ℝ.

2. Intervalles de R

a. Définition

Un intervalle de

est un ensemble de nombres compris entre deux bornes.

Exemples d’intervalles

L’ensemble de tous les nombres compris entre les bornes et On le note .
L’ensemble de tous les nombres supérieurs ou égaux à .
On le note . Les bornes sont et .
L’ensemble de tous les nombres strictement inférieurs à .
On le note . Les bornes sont et .

Pour indiquer qu’un nombre appartient à un intervalle, on utilise le symbole d’appartenance .
On dit aussi que le nombre est un élément de l’intervalle.
Un nombre qui n’appartient pas à l’intervalle sera indiqué par la négation du symbole précédent.

Exemples

mais .
mais . Le crochet [ du côté de 1 indique que le nombre 1 n’appartient pas à l’intervalle.
Donc mais .

b. Types d'intervalles

Pour noter les bornes d’un intervalle, on utilise des crochets.

Le crochet est fermé (tourné vers l’intérieur de l’intervalle) si la borne appartient à l’intervalle.
Le crochet est ouvert (tourné vers l’extérieur de l’intervalle) si la borne n’appartient pas à l’intervalle.
Les bornes et sont toujours associées à un crochet ouvert.

Dans le tableau suivant, soient et deux réels tels que .
, , , sont les bornes possibles d’un intervalle.

Notation	Traduction avec des inégalités	Traduction et représentation graphique
		Ensemble des réels compris entre et
		Ensemble des réels compris entre et exclus
		Ensemble des réels supérieurs ou égaux à
		Ensemble des réels strictement inférieurs à
ou		Ensemble des nombres réels

Notations

L’intervalle est aussi noté (se dit « moins »).
L’intervalle est aussi noté (se dit « moins étoile »).
L’intervalle est aussi noté (se dit « plus »).
L’intervalle est aussi noté (se dit « plus étoile »).
L’ensemble des réels non nuls est noté (se dit « étoile »). Ce n’est pas un intervalle, car il y a un trou en 0.

3. Opérations sur les intervalles

À partir de deux intervalles, on peut créer d’autres ensembles, à l’aide de deux opérations : la réunion (aussi appelée « union ») et l’intersection.

Soient deux intervalles et de .

La réunion des intervalles

est l’ensemble de tous les réels qui appartiennent à au moins l’un des deux intervalles (on dit aussi que ce sont les réels qui appartiennent à

ou à

). On note ce nouvel ensemble

(on dit «

union

»).

L’intersection des intervalles

est l’ensemble de tous les réels qui appartiennent aux deux intervalles (on dit aussi que ce sont les réels qui appartiennent à

et à

). On note ce nouvel ensemble

(on dit «

inter

»).

Remarques

Dans la réunion, on trouve aussi, s’ils existent, les réels qui appartiennent aux deux intervalles.
est une réunion d’intervalles : .
Deux intervalles peuvent n’avoir aucun élément commun. Alors l’intersection est l’ensemble-vide . On dit aussi que les intervalles sont disjoints.

Exemple 1
Soient les intervalles

Alors les réels qui appartiennent à au moins un des deux intervalles sont tous les réels de . Donc .
Sur la droite numérique ci-dessus, ce sont les réels coloriés dans au moins une couleur.
Par ailleurs, les réels qui appartiennent aux deux intervalles sont tous les réels de . Donc .
Sur la droite numérique ci-dessus, ce sont les réels coloriés des deux couleurs.

Exemple 2
Soient les intervalles

Ces deux intervalles n’ont aucun nombre en commun. Donc

.
Comme ces deux intervalles sont disjoints, on ne peut pas simplifier l’écriture de leur réunion et on écrit donc :

ou encore

Évalue ce cours !

Note 4.4 / 5. Nombre de vote(s) : 8

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT