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Droite numérique et cercle trigonométrique

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Objectif

Définir le point image d'un réel.
Points image remarquables.
Placer le point image d'un réel x sur le cercle trigonométrique.

Points clés

Quand la droite (d) s’enroule autour du cercle, on peut faire correspondre à chaque abscisse x de la droite un point du cercle trigonométrique. On dit alors que ce point est le point image (ou l'image) de x.
Si M est le point-image de a alors M est également le point image de (avec k un entier relatif).
Si a et b sont deux réels tels que , alors a et b> possèdent le même point image.
Pour placer un point image sur le cercle, il faut :
- Déterminer la mesure principale : elle est comprise entre et .
- Déterminer le sens de déplacement sur le cercle trigonométrique.
- Placer le point image de la mesure principale sur le cercle (à l'aide des points remarquables ou à l'aide d'un rapporteur).

1. Enroulement de la droite « numérique » sur le cercle trigonométrique

Dans le repère associé au cercle trigonométrique, on définit la droite (d) tangente au cercle trigonométrique au point I. Cette droite graduée représente l’ensemble des nombres réels.

Quand la droite (d) s’enroule autour du cercle, on peut faire correspondre à chaque abscisse x de la droite un point du cercle trigonométrique. On dit alors que ce point est le point image (ou l'image) de x.

Sur le cercle trigonométrique ci-contre:

M est l'image de a ;
J est l'image de ;
N est l'image de b ;
C est l'image de .

Réciproquement, à tout point du cercle correspond une infinité d'abscisses sur (d) :

Ainsi, M est le point image des abscisses suivantes :

a, a+2π, a+4π, a+6π, etc ;
a –2π, a –4π, a –6π, etc.

Propriétés

Si M est le point image de a alors M est également le point image de (avec k un entier relatif).
Si a et b sont deux réels tels que , alors a et b possèdent le même point image.

2. Points image remarquables

La longueur d'un cercle est donnée par la formule 2πR.
Pour le cercle trigonométrique R = 1, donc la longueur du cercle trigonométrique est égale à 2π.

Ainsi :

parcourir 2π sur le cercle revient à effectuer un tour complet dans le sens positif ;
parcourir π revient à effectuer un demi-tour dans le sens positif ;
parcourir équivaut à parcourir un quart de tour dans le sens positif ;
etc.

On peut alors déterminer les points images des réels 2π, π, , , etc ; en parcourant la longueur correspondante à partir du point I :


I est l'image de 2π	K est l'image de π	J est l'image de

C est l'image de	B est l'image de	B est l'image de

Remarque : comme le cercle mesure 2π, les réels a, a+2π, a+4π, etc. possèdent le même point image.

3. Placer un point image d'un réel sur le cercle trigonométrique

Méthode

Déterminer la mesure principale : elle est comprise entre et .
Déterminer le sens de déplacement sur le cercle trigonométrique.
Placer le point image de la mesure principale sur le cercle.

a. Déterminer la mesure principale

Pour trouver la mesure principale, on ajoute ou soustrait (avec k un entier relatif) pour avoir une mesure comprise entre et .

Exemple : on cherche le point image du réel

La mesure principale est

b. Déterminer le sens de déplacement

On regarde le signe de la mesure principale :

si elle est positive, on parcourt le cercle dans le sens trigonométrique ;
si elle négative, on le parcourt dans le sens des aiguille d'une montre.

Exemple :

est négative donc on parcourt le cercle dans le sens des aiguilles d'une montre.

c. Placer le point sur le cercle à l'aide des points remarquables

► On découpe le cercle trigonométrique en parts égales.

4 parts égales si la mesure principale est fonction de ;
6 parts égales si la mesure principale est fonction de ;
8 parts égales si la mesure principale est fonction de ;
12 parts égales si la mesure principale est fonction de .

Exemple :

est multiple de

, donc on découpe le cercle en 12 parts égales.

► On détermine le nombre de parts à parcourir.

Exemple :

donc on doit parcourir 2 parts (dans le sens des aiguilles d'une montre).

Le point image recherché est le point K.

d. Placer le point sur le cercle à l'aide d'un rapporteur

► On convertit la mesure en degré.

Pour cela, on s'aide du tableau de proportionnalité :

On en déduit que et donc

Exemple : pour convertir

en degré, on calcule :

► On place le point sur le cercle à l'aide d'un rapporteur

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