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Division euclidienne, multiples et diviseurs

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Objectifs

Comment effectue-t-on une division euclidienne ? Quel est le vocabulaire associé ?
Quels sont les critères de divisibilité ? Comment les utiliser ?

1. Division euclidienne

Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b, c’est trouver le quotient entier et le reste de la division de a par b.
Le nombre a est appelé le dividende et le nombre b est appelé le diviseur.

Exemple : Effectuons la division de 273 par 17.

Dans cette division, 273 est le dividende et 17 le diviseur.

1^ère étape

On commence par poser la division de 273 par 17.
On observe que 2 est un nombre trop petit pour contenir 17, on commence donc par choisir les deux premiers chiffres du dividende.

2^ème étape

27 contient une seule fois 17.
On écrit donc le chiffre 1 au quotient et on soustrait 1 x 17 = 17 à 27.
Il reste 10.

3^ème étape

On abaisse ensuite un chiffre supplémentaire au dividende et on cherche combien de fois 103 contient 17.

On a 6 x 17 = 102, on inscrit donc le 6 au quotient et on soustrait 102 à 103.

Le quotient entier de 273 par 17 est donc de 16 et son reste est 1.

Dans une division euclidienne, on a toujours la relation suivante :
dividende = diviseur × quotient + reste, avec reste < diviseur

Exemple :
Ceci nous donne, pour l’exemple précédent :
273 = 17 × 16 + 1.

2. Diviseurs et multiples

Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul (égal à zéro), on dit que :

a est divisible par b ;
a est un multiple de b ;
b est un diviseur de a.

Exemple
42 ÷ 6 = 7 c’est-à-dire que 42 = 6 × 7 + 0.
7 est donc le quotient de 42 par 6 et le reste de cette division est nul.

On dira alors que :

42 est divisible par 6 ;
42 est un multiple de 6 ;
6 est un diviseur de 42.

Remarque
D’après l’égalité ci-dessus, on a aussi 42 ÷ 7 = 6, donc 42 est également divisible par 7 et 7 est donc aussi un diviseur de 42.

► Méthode

Afin de pouvoir déterminer de manière simple si un nombre est diviseur d’un autre, nous avons à notre disposition quelques règles appelées critères de divisibilité :

un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, c’est-à-dire qu’il est égal à 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ;
un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est égal à 0 ou 5 ;
un nombre entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par 3 ;
un nombre entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par 9 ;
un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est égal à 0.

Exemple 1 :
Le nombre 252 est divisible par 2 car il se termine par 2.
Il n’est pas divisible par 5, car il ne se termine pas par 0 ou 5.
Il est divisible par 3, car 2 + 5 + 2 = 9 et 9 est divisible par 3.
Il est divisible par 9, car 2 + 5 + 2 = 9 et 9 est divisible par 9.
Il n’est pas divisible par 10, car il ne se termine pas par 0.

Conclusion : 2, 3 et 9 sont des diviseurs de 252, mais pas 5 et 10.

Exemple 2 :
Le nombre 4 590 est divisible par 2, 5 et 10, car il se termine par 0.
D’autre part, 4 + 5 + 9 + 0 = 18 et 18 est divisible par 3 et par 9, donc 4 590 est divisible par 3 et par 9.

Conclusion : 2, 3, 5, 9 et 10 sont tous des diviseurs de 4 590.

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