Fiche de cours

Distance entre deux points et coordonnées du milieu d'un segment

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Quiz et exercices
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Objectifs

Connaitre les caractéristiques vectorielles du milieu d'un segment.
S’initier à la démonstration en utilisant une caractéristique vectorielle du milieu d’un segment.
Utiliser les caractéristiques vectorielles pour calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
Calculer la longueur d’un segment connaissant les coordonnées de ses extrémités.

Points clés

Trois formules à retenir pour I, milieu du segment [AB] :
Une formule à retenir pour la longueur d’un segment [AB] :

Pour bien comprendre

Égalité de deux vecteurs
Opérations sur les vecteurs
Coordonnées d’un vecteur
Opérations sur les coordonnées
Théorème de Pythagore
Règle vectorielle du parallélogramme
Relation de Chasles

1. Deux caractérisations vectorielles du milieu d'un segment

On peut caractériser le milieu d’un segment de deux manières différentes, à partir des vecteurs.

a. Première caractérisation

I est milieu du segment [AB] si et seulement si

Exemple
Soit ABCD un parallélogramme de centre O, E un point du plan.
1. Construire les points F et G, tels que AEFB et AEDG soient des parallélogrammes.
2. Montrer que le point O est le milieu du segment [FG].

Réponse
1. On construit la figure suivante :

2. Pour montrer que O est milieu du segment [FG], on essaie de montrer que

.
On a :

(relation de Chasles).
Or,

(règle du parallélogramme AEDG) et

(O est le milieu du segment [DB]).
Donc

.
Or,

(règle du parallélogramme AEFB).
Donc

Donc O est le milieu du segment [GF].

b. Deuxième caractérisation

I est milieu du segment [AB] si et seulement si

Preuve

D'où .

Exemple
Soit ABC un triangle, I le milieu du segment [BC] et le point D, tel que

. Montrer que I est le milieu du segment [AD].

On a :

, or

, car I est le milieu du segment [BC].

Donc I est le milieu du segment [AD].

2. Coordonnées du milieu d'un segment

Dans un repère

du plan, soient deux points

.
Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont

Preuve

I est milieu du segment [AB].

D'où et .

Remarque
Les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes des coordonnées des extrémités de ce segment.

Exemple
Dans un repère du plan, on considère les points

.
Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
On a :

Le milieu I du segment [AB] a donc pour coordonnées

3. Longueur d'un segment

Dans un repère

, soient deux points

.
La longueur du segment [AB] est

Preuve

ABC est un triangle rectangle en C, donc d’après le théorème de Pythagore, on a : .
D’où , avec et .

Exemple
On considère dans un repère orthonormé les points A(1 ; 3) et B(4 ; –1). Calculer la longueur AB.
On a :

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