Fiche de cours

Développer une expression- Seconde- Mathématiques

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Quiz et exercices
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Objectifs

Reconnaitre la forme développée d'une expression.
Développer une expression factorisée.
Développer une expression avec des identités remarquables.

Points clés

Développer, c’est transformer une multiplication en une somme ou en une différence.
La multiplication est distributive sur l'addition. Cela signifie que, pour tous nombres k, a et b, on a : k(a + b) = ka + kb.
De même, la multiplication est distributive sur la soustraction : k(a − b) = ka − kb.
La double distributivité de la multiplication sur l’addition signifie que, pour tous nombres a, b, c et d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Les identités remarquables sont des développements particuliers d’expressions. On prendra a et b des nombres quelconques.
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²
(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − 2ab + b²
(a − b)(a + b) = a² − b²

Développer, c’est transformer une multiplication en une somme ou en une différence.

1. Distributivité de la multiplication

La multiplication est distributive sur l'addition. Cela signifie que, pour tous nombres k, a et b, on a :
k(a + b) = ka + kb.
De même, la multiplication est distributive sur la soustraction : k(a − b) = ka − kb.

Exemple
Développons les expressions suivantes :
3(x + 7) = 3x + 21
9(2x − 7) = 18x − 63
2x(3x + 1) = 6x² + 2x

2. Double distributivité

La double distributivité de la multiplication sur l’addition signifie que, pour tous nombres a, b, c et d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

De la même manière, on obtient les égalités suivantes :

(a + b)(c − d) = ac – ad + bc − bd ;

(a − b)(c + d) = ac + ad – bc − bd ;

(a − b)(c − d) = ac – ad – bc + bd.

Exemple
Développons les expressions suivantes :
(x + 3)(2x + 1) = 2x² + x + 6x + 3
(5 + x)(3x − 2) = 15x – 10 + 3x² − 2x
(6 − 5x)(7 − 4x) = 42 − 24x − 35x + 20x²

3. Identités remarquables

Les identités remarquables sont des développements particuliers d’expressions.

On prendra a et b des nombres quelconques.

► Développement de (a + b)²

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²

Exemple
(5x + 1)² = (5x)² + 2 × (5x) × 1 + 1² = 25x² + 10x + 1

► Développement de (a − b)²

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − 2ab + b²

Exemple
(3x − 7)² = (3x)² − 2 × (3x) × 7 + 7² = 9x² − 42x + 49

► Développement de (a − b)(a + b)

(a − b)(a + b) = a² − b²

Exemple
(4 − x)(4 + x) = 4² − x² = 16 − x²

Remarques
• On retrouve chacune de ces expressions en utilisant la double distributivité.
• Ces expressions sont à connaitre « par cœur » sans utiliser la double distributivité.

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