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Détermination de primitives

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Objectif(s)

Déterminer des primitives de fonctions usuelles par lecture "inverse" d'un tableau de dérivées.
Déterminer des primitives de fonctions non usuelles à l'aide de quelques formules spécifiques issues de la dérivation.

On rappelle qu'une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F' = f.

Le but de cette fiche est d'apprendre à déterminer, quand cela est possible, F lorsque f est donnée.
Pour les fonctions usuelles, on va utiliser un tableau de dérivées en faisant une lecture "inverse"; pour des fonctions plus "compliquées" mais issues de formules de dérivation, on va donner quelques formules.

Par contre, on ne pourra déterminer les primitives de certaines fonctions dont on sait qu'elles en admettent puisqu'elles sont continues, celles-ci faisant appel à des formules qui ne sont pas au programme de la classe de terminale ou même n'ayant pas de primitives "explicites" (c'est-par-exemple le cas de la fonction x e-x²).

Il apparaît donc comme une évidence que pour déterminer correctement une primitive d'une fonction donnée, il est nécessaire de MAÎTRISER PARFAITEMENT les formules de dérivation…

1. Primitives de fonctions usuelles

On va utiliser des tableaux de dérivées comme ci-dessous :

Fonctions	Fonctions dérivées
f₁	f₁'
f₂	f₂'
...	...
F	f

Si on lit le tableau dans le sens "normal" (de la gauche vers la droite), on part des fonctions usuelles f₁, f₂,…, on applique les formules de dérivation, on corrige éventuellement en multipliant par une constante, puis par somme (ou soustraction) on obtient F telle que F' = f.

F est donc une primitive de f par lecture "inverse" de ce tableau (de la droite vers la gauche!), les autres étant égales à : F + k, où k est une constante réelle.

► Deux exemples pour comprendre

1) Déterminer une primitive sur

d'une fonction polynôme :

.

On utilise un tableau de dérivation :

Fonctions	Fonctions dérivées
x⁵	5x⁴
	x⁴
x⁴	4x³
	2x³
x²	2x
	x
3x	3

2) Déterminer une primitive sur [0 ; π] de la fonction f : x → sin(x) + 3cos(2x).

Fonctions	Fonctions dérivées
cos(x)	-sin(x)
-cos(x)	sin(x)
sin(2x)	2cos(2x)
	3cos(2x)
	f(x) = sin(x) + 3cos(2x)

2. Primitives de fonctions non usuelles, "accessibles" à l'aide d'une formule issue de la dérivation

Dans tout ce paragraphe, u est une fonction dérivable sur un intervalle I (que l'on précisera).

• 1^er cas : n est dans ce tableau un entier naturel :

Fonctions	Fonctions dérivées	I
uⁿ⁺¹	(n + 1)uⁿ.u'
	u'.uⁿ

Exemple : déterminer sur

une primitive de f : x → 5x(x² + 1)³.

Fonctions	Fonctions dérivées
(x² + 1)⁴	4(x² + 1)³.(2x) = 8x(x² + 1)³
	f(x) = 5x(x² + 1)³

• 2^ème cas : n est dans ce tableau un entier naturel non nul et différent de 1 (donc

Fonctions	Fonctions dérivées	I

Exemple : déterminer pour tout réel x une primitive de

.

Remarque : la fonction u : x → x² + x + 3, a un discriminant négatif donc ne s'annule pas. C'est pourquoi f est définie et continue sur

Fonctions	Fonctions dérivées

• 3^ème cas :

Fonctions	Fonctions dérivées	I

Exemple : déterminer une primitive pour x > 2 de :

Fonctions	Fonctions dérivées

• 4^ème cas :

Fonctions	Fonctions dérivées	I
ln(u)

Exemple : déterminer pour tout réel x une primitive de :

.

Remarque : la fonction u : x→ e^2x + 1 est strictement positive pour tout réel x puisque exp > 0 donc f est définie et continue sur

Fonctions	Fonctions dérivées
ln(e^2x + 1)
F(x) = 2 ln(e^2x + 1)

• 5^ème cas :

Fonctions	Fonctions dérivées	I
e^u	u'.e^u

Exemple : déterminer pour tout réel x une primitive de f : x → 7xe ^{(x² + 1)}.

Fonctions	Fonctions dérivées
e ^{(x² + 1)}	2x e^{(x² + 1)}
	f(x) = 7xe^{(x² + 1)}

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