Des édifices ordonnés : les cristaux

En fonction de l’organisation des particules composant le solide à l’échelle microscopique, on distingue deux types de solide.

Arrangement à l’échelle microscopique d’un verre

Arrangement à l’échelle microscopique d’un cristal d’oxyde de nickel NiO

Le chlorure de sodium solide est présent dans certaines roches et on peut le récupérer par évaporation de l’eau de mer. Il s’agit d’un empilement régulier d’ions sodium Na⁺ et d’ions chlorure Cl^–.

Représentation 3D de la maille élémentaire de chlorure de sodium

Cette maille élémentaire permet d’expliquer la structure à notre échelle du cristal (niveau macroscopique) qui est un empilement de cubes de chlorure de sodium.

Photo de cristaux de chlorure de sodium et maille élémentaire du cristal

La calcite : de la formule chimique à la roche

Une roche magmatique se forme à partir du refroidissement d’une lave (roche en fusion). La structure, amorphe ou cristalline, d’une roche magmatique dépend de l’évolution de la température pendant le refroidissement.

• 1^er cas : la température se stabilise pendant le refroidissement.
  
  Évolution de la température au cours du refroidissement d’une lave
  Dans ce cas, les entités chimiques ont le temps de se réorganiser et on obtient au final un solide avec une structure cristalline.
• 2^e cas : la température diminue en permanence pendant le refroidissement.
  
  Évolution de la température au cours du refroidissement d’une lave
  Dans ce cas, les entités chimiques n’ont pas le temps de se réorganiser et on obtient un solide amorphe.

• Un cube possède 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.
  
  Visualisation d’une face, d’un sommet et d’une arête d’un cube
• Un cube est caractérisé par la longueur de ses arêtes qui valent a. Son volume V est alors égal à : V = a³.
  La longueur de l’arête est exprimée en mètre (m) et le volume en mètre cube (m³).

Dans la maille élémentaire d’un réseau cubique simple, on trouve un atome sur chaque sommet du cube (et aucun atome à l’intérieur du cube).

Maille cubique simple dans le modèle des sphères compactes tangentes
et dans le modèle éclaté

Les atomes présents dans une maille n’appartiennent pas entièrement à celle-ci car ils sont partagés avec d’autres mailles. Ils comptent donc pour une fraction dans la maille (). Dans le schéma d’un réseau cubique simple ci-dessous, on observe que chaque atome d’une maille se partage entre 8 mailles en tout.

Dans un réseau cubique simple, 8 mailles se partagent un atome placé à un sommet.

Un atome situé au sommet d’une maille compte donc pour de maille.

Calculons le nombre d’atomes équivalents dans une maille :

• on compte 8 atomes, chacun placé à un sommet de la maille cubique ;
• chaque atome compte pour dans la maille ;
• le nombre N d’atomes équivalents dans la maille est égal à :
  N = nombres d'atomes × fraction associée = 8 ×  = 1.

Dans la maille cubique simple, il y a donc un atome équivalent.

Dans la maille élémentaire d’un réseau cubique à faces centrées, on trouve un atome sur chaque sommet du cube et un atome au centre de chaque face :

Maille cubique à faces centrées dans le modèle des sphères compactes tangentes
et dans le modèle éclaté

Chacun des atomes de la maille se partage avec les mailles adjacentes. Un atome situé à un sommet se partage entre 8 mailles (voir schéma précédent), tandis qu’un atome situé au centre d’une face se partage entre deux mailles.

Dans un réseau cubique à faces centrées, deux mailles se partagent un atome
placé au centre d’une face.

Un atome situé au centre d’une face d’une maille compte donc pour  maille.
Calculons le nombre d’atomes équivalents dans une maille :

• on compte 8 atomes, chacun placé à un sommet de la maille cubique ;
• chaque atome compte pour dans la maille ;
• on compte 6 atomes, chacun placé au centre d’une face de la maille cubique ;
• chaque atome compte pour dans la maille ;
• le nombre N d’atomes équivalents dans la maille est égal à :
  N = nombres d'atomes × fraction associée
  N = 8 ×  + 6 ×  = 1 + 3 = 4.

Dans la maille cubique à faces centrées, il y a donc quatre atomes équivalents.

Rappel mathématique : le volume de la sphère
Une sphère est caractérisée par son rayon r. Le volume V occupé par une sphère est égal à : .
Le rayon étant en mètre, le volume est en mètre cube.

Un atome étant modélisé par une sphère de rayon r, et N étant égal au nombre d’atomes équivalents dans la maille cubique d’arête de longueur a, la compacité C est égale à : .

Pour un réseau cubique simple, on peut calculer la compacité en utilisant la relation mathématique entre le rayon r d’un atome et la longueur a de l’arête du cube. Dans le cadre du modèle des sphères tangentes, les atomes s’organisent selon le schéma suivant.

Illustration de la relation entre le rayon atomique r et la longueur de l’arête a

Pour calculer la compacité d’un réseau cubique simple, il faut :

1. exprimer le rayon atomique r en fonction de la longueur de l’arête a :
2. remplacer le rayon r par son expression en fonction de a dans la formule de la compacité :
3. remplacer N par sa valeur qui est égale à 1 dans la formule de la compacité, puis procéder au calcul :
   

La compacité d’un réseau cubique simple est égale à 0,52, ce qui signifie que la matière atomique occupe 52 % de la maille, le reste (soit 48 %) étant occupé par du vide.

Pour un réseau cubique à faces centrées, on peut calculer la compacité en utilisant la relation mathématique entre le rayon r d’un atome et la longueur a de l’arête du cube. Dans le cas du modèle des sphères tangentes, les atomes s’organisent selon le schéma suivant.

Illustration de la relation entre le rayon atomique r et la longueur de l’arête a

Rappel mathématique : le théorème de Pythagore
Considérons un triangle rectangle ABC, rectangle en A.

Le carré de la longueur de l'hypoténuse BC est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés AB et AC, c'est-à-dire (BC)² = (AB)² + (AC)².
Dans le réseau cubique face centrée, on peut identifier chacun des côtés du triangle rectangle : BC = 4 × r ; AB = a ; AC = a.

Pour calculer la compacité d’un réseau cubique à faces centrées :

1. exprimer le rayon atomique r en fonction de la longueur de l’arête a :
2. remplacer le rayon r par son expression en fonction de a dans la formule de la compacité :
3. remplacer N par sa valeur qui est égale à 4 dans la formule de la compacité puis on procède au calcul :
   
   
   

La compacité d’un réseau cubique à faces centrées est égale à 0,74, ce qui signifie que la matière atomique occupe 74 % de la maille, le reste (soit 26 %) étant occupé par du vide.

Remarque
Pour le calcul, il faut connaitre les puissances de racine de deux :  ;  ; .

La masse volumique d’un cristal se calcule en divisant la masse des atomes présents dans la maille par le volume de la maille.
Pour un nombre équivalent d’atomes égal à N dans la maille, la masse d’un atome étant égale à m_atome, dans une maille cubique dont la longueur des arêtes est égale à a, la masse volumique a pour expression : .