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Dérivées des fonctions usuelles

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Objectif

Connaitre les dérivées des fonctions les plus répandues afin d'éviter de devoir calculer le taux d'accroissement.

Points clés

f(x)	définie pour appartenant à	f '(x)	définie pour appartenant à
k constante réelle		0
		1
xⁿ où n entier naturel,

Le tableau (formules et domaines de définition) doit être su parfaitement.

Pour bien comprendre

Nombre dérivé en
Fonction dérivée

1. Fonction dérivée (rappel)

Soit une fonction définie sur un intervalle I.

Dire que

est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel

de I.

Autrement dit, existe pour tout de I.
Dans ce cas, on peut considérer la fonction qui à tout réel de I lui associe son nombre dérivé.

La fonction

est appelée dérivée (première) de

sur I.

Méthode pour déterminer

On calcule le taux d'accroissement en un réel quelconque de I.
On étudie vers quoi tend lorsque h tend vers 0. C'est .
On en déduit la fonction dérivée en remplaçant par dans l'expression de .

Exemple avec la fonction carrée

Plaçons nous en un réel

quelconque et calculons le taux d'accroissement de f .

Pour h ≠ 0,

Pour tout réel

tend vers

, ce qui prouve que la fonction

est dérivable sur R et pour tout

. On emploie plutôt la variable

pour l'expression d'une fonction, c'est pourquoi on écrira plutôt

Exemple avec la fonction inverse

Plaçons nous en un réel

quelconque.
Pour

on a :

Pour tout réel a,

tend vers

lorsque h tend vers 0. Ce qui prouve que la fonction

est dérivable sur

et sur

et pour tout a,

. La fonction

n'est pas dérivable en 0 car

n'est pas défini pour a=0. On emploie plutôt la variable x pour l'expression d'une fonction, c'est pourquoi on écrira plutôt

2. Dérivée des fonctions usuelles

De la même façon que ci-dessus, on détermine l'expression des dérivées des fonctions usuelles que l'on consigne dans le tableau suivant :

f(x)	définie pour x appartenant à	f '(x)	définie pour x appartenant à
k constante réelle		0
x		1
xⁿ où n entier naturel,

Remarque
La dérivabilité s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction est dérivable sur et sur et non sur (qui n'est pas un intervalle mais une réunion).

Dérivabilité en 0 de la fonction racine carrée

La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
Preuve :

Pour ,

Pour tout réel ,   tend vers  lorsque  tend vers 0.
Ce qui prouve que la fonction  est dérivable sur  et sur  et pour tout , .
La fonction  n'est pas dérivable en 0 car  n'est pas définie pour .

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