Fiche de cours

Dérivées des fonctions sinus et cosinus

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Objectif(s)

Étudier la continuité et la dérivabilité des fonctions sinus et cosinus.

1. Quelques résultats utiles

L’aire d’un secteur circulaire de rayon R et d’angle au centre α en radians est égale à

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)

• On considère la figure suivante à laquelle on se référera tout au long de cette fiche :

Pour 0 < x <

, on utilise le théorème de Thalès dans le triangle OIT.

On obtient :

car CM = OS et donc IT =

= tan(x).

On constate aussi que le triangle OIM est inclu dans le secteur circulaire IOM inclus lui-même dans le triangle OIT.

Donc en utilisant les aires, on obtient :

, soit sin(x) ≤ x ≤

car OI = 1.

En inversant, on obtient :

.

Soit : cos(x) ≤

≤ 1 car sin(x) > 0 pour 0 < x <

.

De plus, cos(-x) = cos(x) et

donc : cos(-x) ≤

≤ 1.

Ainsi,

.

• Définition de la dérivabilité d'une fonction f en a.

Soit h un réel non nul, on pose : t_f(h) =

.

t_f(h) est le taux de variation de f entre a et a + h.
f est dérivable en a s’il existe un nombre L vérifiant :

. On note L = f ’(a).

2. Continuité des fonctions sinus et cosinus

a. Théorème 1

Les fonctions cosinus et sinus sont continues en 0.

Preuve

• Fonction sinus

Pour 0 < x <

, on a : 0 < sin(x) ≤ x.

Donc pour

< x < 0, on a : 0 < sin(-x) ≤ -x.

Soit : x ≤ sin(x) < 0.

Or d’après le théorème d’encadrement :

Or sin(0) = O, donc :

.

La fonction sinus est continue en 0.

• On fait de même pour la fonction cosinus.

cos(x) = cos(

) = 1 – 2sin²(

)

donc

.

Or cos(0) = 1, donc :

.

La fonction cosinus est continue sur 0.

b. Théorème 2

Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur

3. Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus

a. Dérivabilité en 0

• Fonction sinus

Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction sinus entre x et 0 est : t_sin(x) =

.

On a vu au 1) que l’on a : cos(x) ≤

≤ 1 pour

et que

.

Donc d’après le théorème d’encadrement, on en déduit que :

.

Ainsi :

et donc sin ’ (0) = 1.

La fonction sinus est dérivable en 0 et sin' (0) = 1.

Et :

• Fonction cosinus

Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction cosinus entre x et 0 est :

.

On a vu au 2) que l'on a :

.

Donc :

donc :

.

Ainsi,

et cos(0) ' = 0.

La fonction cosinus est dérivable en 0 et cos' (0) = 0.

Et :

b. Dérivabilité sur R

• Fonction sinus

Soit (a ; h) un couple de réels tel que

.

Le taux de variation de la fonction sinus entre a et a+h est donné par :

On utilise la formule :

Donc :

.

Et :

.

• On procède de la même façon avec la fonction cosinus et

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur

et pour tout réel x, on a :

.

Remarque :

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