Fiche de cours

Dérivées des fonctions sinus et cosinus

Lycée   >   Terminale   >   Mathématiques   >   Dérivées des fonctions sinus et cosinus

  • Fiche de cours
  • Quiz et exercices
  • Vidéos et podcasts
Objectif(s)
Étudier la continuité et la dérivabilité des fonctions sinus et cosinus.

1. Quelques résultats utiles
L’aire d’un secteur circulaire de rayon R et d’angle au centre α en radians est égale à .
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)

• On considère la figure suivante à laquelle on se référera tout au long de cette fiche :


Pour 0 < x < , on utilise le théorème de Thalès dans le triangle OIT.

On obtient : car CM = OS et donc IT =  = tan(x).

On constate aussi que le triangle OIM est inclu dans le secteur circulaire IOM inclus lui-même dans le triangle OIT.

Donc en utilisant les aires, on obtient :
, soit sin(x) ≤ x ≤ car OI = 1.

En inversant, on obtient : .

Soit : cos(x) ≤ ≤ 1 car sin(x) > 0 pour 0 < x < .

De plus, cos(-x) = cos(x) et  donc : cos(-x) ≤ ≤ 1.

Ainsi, .


Définition de la dérivabilité d'une fonction f en a.

Soit h un réel non nul, on pose : tf(h) = .

tf(h) est le taux de variation de f entre a et a + h.
f est dérivable en a s’il existe un nombre L vérifiant : . On note L = f ’(a).

2. Continuité des fonctions sinus et cosinus
a. Théorème 1
Les fonctions cosinus et sinus sont continues en 0.

Preuve


Fonction sinus

Pour 0 < x <
, on a : 0 < sin(x) ≤ x.

Donc pour < x < 0, on a : 0 < sin(-x) ≤ -x.

Soit : x ≤ sin(x) < 0.

Or d’après le théorème d’encadrement : et  .

Or sin(0) = O, donc : .

La fonction sinus est continue en 0.


• On fait de même pour la fonction cosinus.

cos(x) = cos() = 1 – 2sin²()

donc .

Or cos(0) = 1, donc : .

La fonction cosinus est continue sur 0.
b. Théorème 2
Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur .
3. Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus
a. Dérivabilité en 0
Fonction sinus

Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction sinus entre x et 0 est : tsin(x) = .

On a vu au 1) que l’on a : cos(x) ≤ ≤ 1 pour et que .

Donc d’après le théorème d’encadrement, on en déduit que : .

Ainsi : et donc sin ’ (0) = 1.

La fonction sinus est dérivable en 0 et sin' (0) = 1.

Et : .

Fonction cosinus

Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction cosinus entre x et 0 est : .

On a vu au 2) que l'on a : .

Donc : .

donc : et .

Ainsi, et cos(0) ' = 0.

La fonction cosinus est dérivable en 0 et cos' (0) = 0.

Et : .
b. Dérivabilité sur R
Fonction sinus

Soit (a ; h) un couple de réels tel que .

Le taux de variation de la fonction sinus entre a et a+h est donné par : .

On utilise la formule : .

Donc : .

Et : .


• On procède de la même façon avec la fonction cosinus et .

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et pour tout réel x, on a :

.

Remarque : .

Évalue ce cours !

 

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

 

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

 

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

 

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

 

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques

Suites géométriques et arithmético-géométriques

Mathématiques

Loi normale centrée réduite N(0,1)

Mathématiques

Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle

Mathématiques

Loi de probabilité à densité et loi uniforme sur un intervalle

Mathématiques

Loi normale

Mathématiques

Savoir utiliser la calculatrice pour représenter une loi normale centrée réduite

Mathématiques

Savoir utiliser la calculatrice pour représenter une loi normale

Mathématiques

Savoir utiliser la calculatrice pour rechercher un seuil

Mathématiques

Lois de probabilités continues

Mathématiques

Lois uniforme et exponentielle