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Dérivée, sens de variation et extrema d'une fonction- Première- Mathématiques

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Objectifs

Dresser le tableau de variations d'une fonction

Utiliser le tableau de variations pour :

déterminer les extrema d'une fonction
résoudre des équations
résoudre des inéquations

Points clés

Pour dresser le tableau de variations d'une fonction, il faut calculer la dérivée, étudier le signe de celle-ci, et compléter les valeurs aux extrémités de chacune des flèches placées, en faisant attention aux éventuelles valeurs interdites sur l'intervalle d'étude.

Pour bien comprendre

Notion d'extremum
Fonction dérivée
Tableau de signe d'une fonction

1. Dérivée d'une fonction et variations de cette fonction

Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I, on a les théorèmes suivants :

si f ’ est positive sur I la fonction f est croissante sur I.
si f ’ est négative sur I la fonction f est décroissante sur I.

Remarques

Pour le vocabulaire mathématique, « positive » signifie « positive ou nulle » (et « négative » veut dire « négative ou nulle »). Dans le cas d’une inégalité stricte, on précisera que la dérivée est « strictement positive/négative » et que f est « strictement croissante/décroissante ».
Si la dérivée est nulle sur tout l’intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle.

Si une fonction conserve le même sens de variation sur tout un intervalle (croissante ou décroissante), on dit que cette fonction est monotone.

Exemple
La fonction

est définie sur

. Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition. Elle est monotone.

2. Tableau de variations d'une fonction

Il est commode de regrouper toutes les indications obtenues sur la fonction dans un tableau appelé tableau de variations de la fonction.

Exemple 1
Soit

définie sur

.
Calculer sa dérivée, en chercher le signe, puis donner les variations de cette fonction sous forme de tableau.

Calcul de la dérivée :
Signe de la dérivée : la dérivée s’annule pour x = -2 ou x = 2.
On fait alors un tableau de signe qui indique que la dérivée est positive sur ]-∞ ; -2],
négative sur ]-2 ; 2[ et positive sur [2 ; +∞[.
Variations de la fonction : on calcule les valeurs de la fonction pour les valeurs du tableau de signe (pour -2 et 2) : f(-2) = 17 et f(2) = -15.
Tableau des variations de f (dans lequel on fait figurer tous les éléments que l'on vient de déterminer) :

Remarque : les valeurs en -∞ et +∞ ne sont pas au programme des classes de premières (cours de terminale sur les limites).
Enfin, on peut utiliser une calculatrice (c’est conseillé !) pour tracer la courbe représentative de la fonction et vérifier que le tableau de variations est correct.

Exemple 2
Soit

définie sur ]0 ; +∞[.
Calculer sa dérivée, en chercher le signe puis dans un tableau, donner les variations de cette fonction.
f est de la forme

donc

avec

donc

.
Le dénominateur est un carré, donc toujours positif (il ne peut pas être nul sur le domaine de définition).
Le signe de la dérivée est alors celui du numérateur, soit strictement négatif.
Cette fonction est strictement décroissante sur son domaine de définition. On dit qu’elle elle est strictement monotone.

Remarque : la valeur 0 est interdite. On le signale en mettant une double barre verticale.

3. Extremum d'une fonction

On appelle extremum d'une fonction un maximum ou un minimum de la fonction étudiée.

Exemples
Pour la fonction précédente

définie sur ]0 ; +∞[, on a un minimum (absolu) qui vaut 1.
Pour l’autre fonction

définie sur

, on a un maximum (local) pour x = -2 qui est 17 et un minimum (local) pour x = 2 qui est -15.

Remarque : le pluriel de « extremum » est « extrema ».

4. Utilisation des variations d'une fonction pour résoudre sans graphique l'équation f(x) = k

D’après les variations de la fonction définie sur :

On peut déduire par exemple que l’équation f(x) = 0 aura 3 solutions dans :

une solution sur l’intervalle ]-∞ ; -2] car la fonction prend des valeurs négatives puis positives, donc elle doit passer par 0 ;
une autre solution sur l’intervalle ]-2 ; 2] car la fonction prend des valeurs positives puis négatives, donc elle doit passer par 0 ;
une troisième solution sur l’intervalle ]2 ; +∞[ car la fonction prend des valeurs négatives puis positives, donc elle doit passer par 0.

Remarque : on peut déduire le nombre de solutions, pas leurs valeurs. Pour cela, on fera une recherche par approximation (par exemple avec un algorithme).

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