Fiche de cours

Dérivée et étude d'une fonction

Lycée > Terminale > Mathématiques > Dérivée et étude d'une fonction

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

- Découvrir la dérivée et construire les variations d'une fonction
- Liens entre la dérivée et extremums
- Étudier la dérivée : toujours indispensable ?

1. Dérivée et variations d'une fonction

Théorème (admis)

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si la fonction dérivée f' est nulle sur I, alors la fonction f est constante

• Si la fonction dérivée f' est strictement positive sur I, sauf peut-être en certains points isolés où elle est nulle, alors la fonction f est strictement croissante.

• Si la fonction dérivée f' est strictement négative sur I, sauf peut-être en certains points isolés où elle est nulle, alors la fonction f est strictement décroissante.

Exemple :

Soit f la fonction définie sur

f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur

2. Dérivée et extremums

Théorème (admis)

Soit f une fonction dérivable sur I. Soit J un intervalle ouvert inclus dans I et

• Si f admet un extremum local en x₀ alors f'(x₀) = 0

• Si la fonction dérivée f' s'annule en x_o, en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x_o

Exemple :

L'exemple précédent montre le cas d'une fonction où un zéro de la fonction dérivée ne correspond pas à un extremum local de la fonction.
En effet :

F' s'annule en 0 sans changer de signe, f(0) n'est pas extremum de la fonction.

Par contre, f' s'annule en 3/4 en changeant de signe donc f(3/4) est un extremum local (un maximum local) de la fonction.

3. Etudier la dérivée : toujours indispensable ?

Attention, avant de se précipiter sur le calcul de la dérivée, vérifier (mentalement) si le sens de variation de la fonction ne peut être déterminé sans calculs grâce à l'un des théorèmes suivants !

Théorèmes

► Si f est la somme de deux fonctions croissantes (décroissantes) sur I, alors f est croissante (décroissante) sur I

► Si f est une fonction composée, en se plaçant sur un intervalle I où la composée existe :

→ si les deux fonctions ont même sens de variation alors f est croissante
→ si les deux fonctions n'ont pas le même sens de variation, alors f est décroissante

Exemples :

•

donc f est croissante sur

car elle est la somme de deux fonctions croissantes sur

•

, définie sur

comme somme de fonctions décroissantes sur

donc g est décroissante sur

•

est la composée de deux fonctions croissantes sur

donc h est croissante sur cet intervalle

Évalue ce cours !

Note 3.1 / 5. Nombre de vote(s) : 78

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT