Fiche de cours

Dérivation d'une fonction composée

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Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

- Connaître le théorème
- Savoir réaliser des applications

1. Le théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant des valeurs appartenant à l'intervalle

et soit g une fonction définie sur J (donc

est alors définie sur I).

Quelque soit

, si f est dérivable en x_o et si g est dérivable en f(x₀), alors

est dérivable en x_o

Et :

Démonstration

Le taux de variation de

en x_o est :

Posons y = f(x) et y_o = f(x_o),

D'après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, lorsque x tend vers x_o, y tend vers y_o et

tend vers

.
D'autre part,

tend vers

, d'où le résultat.

2. Applications

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I

•

est dérivable sur I et

•

est dérivable sur I et

• Pour tout entier

, uⁿ est dérivable sur I et

• Si u ne s'annule pas sur I, pour tout entier

, uⁿ est dérivable et

• Si u est strictement positive sur I,

est dérivable sur I et

Exemples

•

•

Donc

•

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