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Densité de probabilité et fonction de répartition

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Objectifs

Connaitre la fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b].
Concevoir et exploiter une simulation dans le cadre d’une loi uniforme.

Points clés

Une fonction de densité de probabilité sur un intervalle de réels I est une fonction f définie, continue et positive sur I telle que , c’est-à-dire que l’aire délimitée sous la courbe sur l’intervalle I est égale à 1.
Une variable aléatoire à densité X sur un intervalle I est définie par la donnée d’une fonction de densité de probabilité f définie sur I. La probabilité que X appartienne à un intervalle [a ; b] de I est égale à l’aire sous la courbe de f sur [a ; b], autrement dit P(a ≤ X ≤ b) = .
Pour tout réel c de I, P(X = c) = 0 (car ). On en déduit que :
- pour tous réels c et d de I, P(c ≤ X ≤ d) = P(c ≤ X < d) = P(c < X ≤ d) = P(c < X < d).
- pour tout réel c de I, P(X > c) = P(X ≥ c) = 1 – P(X < c).
On appelle fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité X la fonction F définie sur par F(x) = P(X ≤ x). Si f est la fonction de densité de probabilité définie sur [a ; b] de la variable X, alors :
- si x < a, on a P(X ≤ x) = 0 (car comme a ≤ X ≤ b et x < a, alors x < a ≤ X et « X ≤ x » est un événement impossible) ;
- si x ∈ [a ; b], on a P(X ≤ x) = ;
- si x > b, on a P(X ≤ x) = 1 (car comme a ≤ X ≤ b et x > b, alors X ≤ b < x et « X ≤ x » est un événement certain).

Pour bien comprendre

Connaitre les notions de continuité et d'intégration (primitives) et effectuer des calculs nécessitant une calculatrice ou un logiciel.
Calculer une aire, une intégrale.

Lors d’une étude (statistique entre autre), on est souvent amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre toutes les valeurs (en continu) d’un intervalle I = [a ; b] de réels. On dira que ces variables sont continues (elles sont parfois regroupées en classes).

Exemple
La taille d’un adulte est une variable continue pouvant prendre toutes les valeurs entre 0,546 m et 2,72 m, selon le livre Guinness des records. La taille réelle est continue, la mesure effectuée est une approximation, donc une valeur ponctuelle, discrète.

1. Définition et propriétés

a. Fonction de densité

Une fonction de densité de probabilité sur un intervalle de réels I est une fonction f définie, continue et positive sur I telle que :

, c’est-à-dire que l’aire délimitée sous la courbe sur l’intervalle I est égale à 1.

Une variable aléatoire à densité X sur un intervalle I est définie par la donnée d’une fonction de densité de probabilité f définie sur I. La probabilité que X appartienne à un intervalle [a ; b] de I est égale à l’aire sous la courbe de f sur [a ; b], autrement dit P(a ≤ X ≤ b) =

Exemple

Le graphique ci-dessus représente la fonction de densité de probabilité f d’une variable aléatoire X sur [0 ; 3].
En effet, f est continue, positive sur cet intervalle et l’aire délimitée sous la courbe entre 0 et 3 est égale à 1, c’est-à-dire .
De plus, P(0 ≤ X ≤ 2) est l’aire délimitée sous la courbe de f entre 0 et 2 (aire de la partie hachurée), c’est-à-dire P(0 ≤ X ≤ 2) = = 0,75.

b. Quelques propriétés

Propriétés
Pour tout réel c de I, P(X = c) = 0 (car

).
On en déduit que :

Pour tous réels c et d de I, P(c ≤ X ≤ d) = P(c ≤ X < d) = P(c < X ≤ d) = P(c < X < d).
Pour tout réel c de I, P(X > c) = P(X ≥ c) = 1 – P(X < c).

Remarques
• On considère que le résultat ne change pas si l’intervalle I = [a ; b] est ouvert (par exemple I = [a ; b[) ou que l’une (ou les deux) des bornes est infinie (I = [a ; +∞[).
• Pour une fonction de densité de probabilité sur I = [a ; b], pour tout réel c de I, P(X = c) = 0. Il s’agit ici d’essayer de comprendre ce qu’il se passe :

Sur le segment [0 ; 1], posons une bille de diamètre 1. Elle occupe toute la place. La probabilité de prendre une bille sur le segment est donc 1.
Sur le même segment [0 ; 1], posons dix billes de diamètre 0,1. Elles occupent toute la place (en longueur). La probabilité de prendre une bille sur le segment est donc 0,1.
Sur le même segment [0 ; 1], posons un million de billes de diamètre 10⁶. La probabilité de prendre une bille sur le segment est donc 0,000 001, ce qui est très très petit.
Si sur le segment [0 ; 1] nous plaçons n billes, la probabilité de tirer une de ces billes sur ce segment sera de .

Si l’on place une des n billes en chacun des nombres (il y en a une infinité) du segment, alors avec .

On peut ainsi comprendre pourquoi la probabilité d’obtenir un nombre particulier est nulle (P(X = c) = 0).

Exemple
Une cible d'un mètre de diamètre est utilisée pour un concours.

Cas du discret (nous travaillons sur des parties que l’on peut compter)

Cinq surfaces concentriques, nommées S₁, S₂, S₃, S₄ et S₅, sont coloriées sur la cible, la première de rayon 0,1 m, la seconde comprise entre la première et le cercle de rayon 0,2 m, etc.
On considère qu’il y a équiprobabilité, donc la probabilité d’obtenir une partie est proportionnelle à son aire.
Aire totale : A = πr² = π = = 0,25 π.
S₁ = π(10^–1)² = π × 10^–2
S₂ = π(2 × 10^–1)² – π(10^–1)² = 3 π × 10^–2
S₃ = π(3 × 10^–1)² – π(2 × 10^–1)² = 5 π × 10^–2
S₄ = 7π × 10^–2 et S₅ = 9π × 10^–2

Alors :

P(S₁) = = = 0,04 ; P(S₂) = = 0,12 ; P(S₃) = = 0,20 ; P(S₄) = = 0,28 et P(S₅) = = 0,36.

Cas du continu

La cible est uniforme, sans découpage. La règle choisie est de mesurer après chaque tir la distance entre le centre et le point d’impact. Cette distance est une valeur de l’intervalle [0 ; 0,5].
On choisit la fonction de densité de probabilité sur l’intervalle I = [0 ; 0,5] : f : x ↦ f (x) = 8 x.
Montrons qu’il s’agit bien d’une fonction de densité : sur I, c’est une fonction continue (fonction polynôme), positive, avec :

f est bien une fonction densité sur I.
Nous avons :
P(0 ≤ X ≤ 0,1) = = 4(0,1)² – 4(0)² = 0,04
P(0,1 ≤ X ≤ 0,2) = = 4(0,2)² – 4(0,1)²= 0,12
P(0,2 ≤ X ≤ 0,3) = = 0,20
P(0,3 ≤ X ≤ 0,4) = = 0,28
P(0,4 ≤ X ≤ 0,5) = = 0,36
On constate qu'on obtient les mêmes probabilités que dans le cas précédent.

2. Fonction de répartition

On appelle fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité X la fonction F définie sur

par F(x) = P(X ≤ x).
Si f est la fonction de densité de probabilité définie sur [a ; b] de la variable X, alors :

si x < a, on a P(X ≤ x) = 0 (car comme a ≤ X ≤ b et x < a, alors x < a ≤ X et « X ≤ x » est un événement impossible) ;
si x ∈ [a ; b], on a P(X ≤ x) = ;
si x > b, on a P(X ≤ x) = 1 (car comme a ≤ X ≤ b et x > b, alors X ≤ b < x et « X ≤ x » est un événement certain).

Exemple
Soit f la fonction définie sur [1 ; 2] par f (x) = –x + 2,5.
f est continue sur [1 ; 2] car c’est une fonction affine et f est positive sur [1 ; 2] car pour tout x ∈ [1 ; 2], f (x) ≥ 0.

De plus,

f est donc une fonction de densité sur [1 ; 2].
Si X est une variable aléatoire à densité, de fonction de densité f sur [1 ; 2], alors sa fonction de répartition est :

Remarque
[a ; b] = ]–∞ ; b] – ]–∞ ; a[
P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X < a) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a) = F(b) – F(a)

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