Définitions et notations ensemblistes- Première techno- Mathématiques
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre le vocabulaire des ensembles : ensemble, sous-ensemble, élément, appartenance, inclusion, intersection, réunion, complémentaire.
- Savoir utiliser ce vocabulaire sur des exemples pris de différentes situations : intervalles, évènements en probabilités.
- Un ensemble est une collection d’objets. On le note par une lettre majuscule, par exemple A.
- Un élément est le nom donné à un objet appartenant à un ensemble, il est noté avec une lettre minuscule, par exemple a. On dit que a appartient à A et on note a ∈ A si a est un élément de A. Sinon, on dit que a n’appartient pas à A et on note a ∉ A.
- On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B et on note A ⊂ B, si tous les éléments de A sont des éléments de B. On dit aussi que A est un sous-ensemble de B ou une partie de B.
- On définit l’intersection de A et de B et on note A ∩ B l’ensemble qui contient les éléments communs à A et à B.
- On définit la réunion de A et de B et on note A U B l’ensemble qui contient tous les éléments de A et tous ceux de B.
- Soient E un ensemble et A un sous-ensemble de E. On appelle « complémentaire de A dans E » l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. On le note Ā ou encore E\A.
- Probabilités simples
- Intervalles
- Notion d’ensemble
Un élément est le nom donné à un objet appartenant à un ensemble, il est noté avec une lettre minuscule, par exemple a.
On peut désigner un ensemble de 3 façons :
- en extension : on liste ses éléments entre 2 accolades (quand cela est possible) ;
- en compréhension : on donne une propriété caractérisant ses éléments : par exemple « les entiers naturels inférieurs à 10 » ;
- par un diagramme : on met à l’intérieur les éléments de l’ensemble.
E = {0 ; 1 ; 2 ; 3} E est un ensemble donné en extension (dans les accolades, l’ordre n’a pas d’importance). Ses éléments sont 0, 1, 2, et 3.
L’ensemble des réels strictement positifs est l’intervalle ]0 ; +[. C’est un ensemble donné en compréhension : on a donné une propriété de ses éléments.
L’ensemble représenté ci-dessous est désigné par un cercle à l’intérieur duquel on a mis les éléments.
1 ∈ E mais 4 ∉ E.
- Singleton : un ensemble formé d’un seul élément est un singleton ;
- Paire : un ensemble formé de 2 éléments ;
- Ensemble vide : un ensemble qui n’a pas d’éléments et on le note Ø.
A = {a} est un singleton.
B ensemble des diviseurs de 7 est une paire car B = {1 ; 7}.
Dans le cas des ensembles de nombres, on a
.Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs et sont des réels.
L’ensemble hachuré est A ∩ B.
Lorsque A ∩ B est vide, on dit que les ensembles sont disjoints.
Soient A l’ensemble des diviseurs de 4 et B l’ensemble des diviseurs de 6.
On a A = {1 ; 2 ; 4} et B = {1 ; 2 ; 3 ; 6}.
Alors les éléments communs à A et à B sont 1 et 2 donc A ∩ B = {1 ; 2}.
Tout ce qui est coloré est l’ensemble A U B.
Reprenons les ensembles A et B précédents : on a A U B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6}.
On appelle « complémentaire de A dans E » l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. On le note Ā ou encore EA.
Tout ce qui est coloré est Ā.
On peut appliquer les définitions
précédentes aux cas particuliers des
intervalles de 
.
Soient I = [4 ; 6] et J = [5 ; +∞[.
On peut trouver I ∩ J = [5 ; 6] : ce sont les réels qui appartiennent à I et à J.
De même, I U J = [4 ; +∞[ est la réunion de I et de J.
I et J ne sont pas disjoints car leur intersection n’est pas vide.
Le complémentaire de J dans
est l’intervalle
]–∞ ; 5[.
On peut appliquer les définitions précédentes aux cas particuliers des évènements en probabilité.
Soit l’expérience aléatoire du lancer de dé, soit Ω l’ensemble des issues possibles de l’expérience. On a Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
On définit les évènements I = « obtenir un multiple de 3 » et J = « obtenir un nombre impair ». On a I = {3 ; 6} et J = {1 ; 3 ; 5}.
I ∩ J = {3}. Ce sont les issues qui appartiennent à I et à J.
I U J = {1 ; 3 ; 5 ; 6}. C’est la réunion de I et de J.
I et J ne sont pas disjoints car leur intersection n’est pas vide.
Le complémentaire de J dans Ω est l’ensemble J = {2 ; 4 ; 6}.
I et J ne forment pas une partition de Ω.
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