Définition, vocabulaire et représentation des fonctions- Seconde- Mathématiques
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre le vocabulaire de base des fonctions : variable, antécédent, image, ensemble de définition d'une fonction.
- Connaitre la notation f(x).
- Représenter graphiquement une fonction.
- Déterminer les images et les antécédents d'une fonction par le calcul et par lecture graphique.
- Une fonction est un procédé qui permet
d’associer à un nombre, un unique autre nombre
appelé image. Si on appelle f cette fonction,
l’image de x par f sera notée
ou 
.
- L'ensemble de définition d'une fonction f
est l'ensemble des nombres réels pour lesquels on
peut calculer une unique image. On le note
souvent
ou 
.
- Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f(a) = b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.
- La représentation graphique de f est l’ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)) en faisant prendre à x toutes les valeurs de l’ensemble de définition.
- Pour obtenir l’image d’un nombre a par une fonction f, on lit graphiquement l’ordonnée du point de la courbe de f ayant pour abscisse a.
- Pour obtenir les antécédents d’un nombre b, on lit les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée b.
Si on appelle
cette fonction, l’image
de x par f sera
notée ou .
Exemples
est une fonction 
et 
est l'image de 
par la fonction 
.
est une fonction 
et
est l'image de 
par la fonction 
Contre-exemple
La correspondance qui à tout nombre positif fait
correspondre les deux nombres dont il est le carré
n’est pas une fonction. En effet, il n’y a
pas unicité. Par exemple, 4 est le carré de
2 et –2.
Exemples
On peut modéliser par une fonction :
- la distance parcourue par un véhicule (y) en fonction du temps de trajet (x) ;
- le prix des tomates (y) en fonction de la masse achetée (x).
Notations : Les écritures suivantes sont équivalentes :
ou 
.
Exemples
. Pour tout x réel, on peut
calculer x², donc l’ensemble de
définition est 
.
. La racine carrée
d’un nombre existe si et seulement si
x ≥ 0, donc l’ensemble de
définition est 
.
On ne peut calculer
l’image de x que si le dénominateur
est non nul, c’est à dire si
x ≠ –1. L’ensemble de
définition est 
.
Si f(a) = b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.
Exemples
:
L’image de 1 par f vaut
1² = 1, soit
f(1) = 1.
L’image de –1 par f vaut
(–1)² = 1, soit
f(–1) = 1.
Les antécédents de 1 sont toutes les
valeurs a pour lesquelles
f(a) = 1, c'est à
dire 1 et –1.
:
L’image de 0 par f est
0 + 3 = 3, soit
f(0) = 3.
L’antécédent de 3 par f
est 0.
:
L’image de 25 est 
, soit
f(25) = 5.
L’antécédent de 5 par f
est 25.
On se place dans un repère (O, I, J) donné.
Remarque : on utilisera parfois le mot
courbe à la place de
représentation graphique.
Exemple : considérons la
représentation graphique d'une
fonction f sur [–3 ; 3].
|
Si M a pour abscisse x, alors son
ordonnée est f(x). A a pour coordonnées (2 ; 2), donc f(2) = 2 donc l’image de 2 par f est 2. B a pour coordonnées (–2 ; 2), donc f(–2) = 2 donc l’image de –2 par f est 2. Les antécédents de 2 par la fonction f sont –2 et 2. |
Exemple 1
Voici la représentation
graphique d’une fonction f :
|
Pour déterminer l’image de 1
par f, on doit partir de
l’abscisse 1, puis on lit
l’ordonnée du point de la courbe
correspondant. Par lecture graphique, on obtient 4. Donc l’image de 1 par f est 4. |
Exemple 2
Voici la
représentation graphique d’une
fonction f :
|
Pour déterminer l’image de 2
par f, on doit partir de
l’abscisse 2, puis on lit
l’ordonnée du point de la courbe
correspondant. Par lecture graphique, on obtient –3,5. Donc l’image de 2 par f est –3,5. |
Exemple 1
Voici la représentation graphique d’une
fonction f :
|
Pour déterminer les
antécédents de 3, on lit les
abscisses des points de la courbe
d’ordonnée 3. Par lecture graphique, –1 et 3 sont les antécédents de 3 par f. |
Exemple 2
Voici la représentation
graphique d’une fonction f :
|
Pour déterminer les
antécédents de 1
par f, on lit les abscisses des
points de la courbe
d’ordonnée 1. Par lecture graphique, 3 est l'antécédent de 1 par f. |
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