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Cosinus et triangle rectangle

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Objectifs

Dans un triangle rectangle, il existe une relation entre la mesure d’un angle et les côtés de ce triangle.
Comment calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle connaissant la longueur de l’hypoténuse et la mesure de l’un des angles non droits? Comment calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle connaissant la longueur de l’hypoténuse et d’un autre côté de l’angle droit ?

1. Vocabulaire

Dans le triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse de ce triangle est le côté [BC].
On appelle côté opposé à l’angle

le côté [AC]; le côté adjacent à l’angle

est le côté qui forme l’angle

et qui n’est pas l’hypoténuse, soit [AB].

2. Cosinus d'un angle dans un triangle rectangle

a. Définition du cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle, noté « cos », est égal au rapport (quotient) de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l’hypoténuse.

Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A alors on a :

Remarque : l’hypoténuse étant le plus grand côté dans un triangle rectangle, le rapport

est toujours plus petit que 1.

Le cosinus d’un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1.

Intérêt : La formule du cosinus d’un angle dans un triangle rectangle permet de calculer soit la longueur d’un côté soit un des angles de ce triangle.

b. Exemples d'application

Exemple 1 : Calcul de la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle :

Dans un triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse [BC] mesure 6 cm, l’angle

a pour mesure 40°. Calculer la longueur du côté [AB].

Données : ABC est rectangle en A
Citation : Par définition du cosinus, on a :

Conclusion :

Par un « produit en croix », on obtient :

On obtiendra la valeur de grâce à la touche

de la calculatrice,

d’où :

Exemple 2 : Calcul de l’un des angles d’un triangle rectangle

Dans un triangle DEF rectangle en D, l’hypoténuse EF a pour mesure 6 cm. Le côté [DE] a pour mesure 2 cm. Déterminer en degré la mesure de l’angle

Données : DEF est un triangle rectangle en D.

Citation : Par définition du cosinus, on a :

:
Conclusion :

Pour déterminer la mesure de l’angle

, il faut utiliser la fonction « cosinus inverse » de la calculatrice, notée cos^-1.
Elle s’obtient souvent en tapant sur les touches:

On a alors :

(résultat arrondi au dixième)

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